Escreva a equação da reta tangente á curva y=f(x) no ponto (x0, f(x0))
f(x)=2-xx^3-1
onde
x0=0

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto l(x0,f(x0)r), com
f(x) = 2 - xx^3 - 1
e x0 = 0.
Para isso, precisamos de dois elementos: o ponto l(0,f(0)r) e a derivada f'(0), que será a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Calcular f(0):
f(0) = 2 - 00^3 - 1 = 2-1 = -2
Logo, o ponto de tangência é l(0,-2r).

Passo 3

Calcular f'(x) usando a regra do quociente: se f(x)=N(x)D(x), então
f'(x) = N'(x),D(x) - N(x),D'(x)l(D(x)r)^2
Aqui N(x)=2-x e D(x)=x^3-1, logo N'(x)=-1 e D'(x)=3x^2. Então
f'(x) = (-1)(x^3-1) - (2-x)(3x^2)(x^3-1)^2 = -x^3+1 -6x^2+3x^3(x^3-1)^2 = 2x^3 -6x^2 +1(x^3-1)^2
Agora avalia em x=0:
f'(0) = 2cdot0^3 -6cdot0^2 +1(0^3-1)^2 = 11 = 1
Portanto, a inclinação da reta tangente é m = 1.

Passo 4

Montar a equação da reta tangente em forma ponto-declive:
y - y0 = m,(x - x0),
substituindo x0=0, y0=-2 e m=1:
y - (-2) = 1,(x - 0) Longrightarrow y + 2 = x Longrightarrow y = x - 2

Resposta

A equação da reta tangente é
boxedy = x - 2

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