Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. A pergunta é: escrever a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O ponto de tangência é
. - Precisa-se da equação da reta tangente no ponto dado.
Passo 2
Ideia geral (explicada de forma didática): a reta tangente a uma curva num ponto tem como coeficiente angular (inclinação) o valor da derivada da função nesse ponto. Em termos práticos:
- Primeiro encontramos a derivada
, que dá a inclinação da curva em cada . - Depois avaliamos
em para obter o coeficiente angular da tangente em . - Por fim usamos a fórmula da reta conhecida como forma ponto-inclinação:
onde
é o ponto de tangência e
é a inclinação.
Vou explicar e aplicar cada uma dessas etapas passo a passo.
Passo 3
Como se calcula a derivada aqui (uma mini-aula): para funções polinomiais aplica-se a regra potência (power rule). A regra diz que a derivada de
é
. Também vale que a derivada de uma constante multiplicada por
é essa constante, e a derivada de uma constante absoluta é zero. Aplicando isso a cada termo de
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto, a derivada da função é
Passo 4
Avaliar a derivada no ponto
para obter a inclinação
:
Interpretação: a reta tangente ao gráfico de
em
tem coeficiente angular
. Isso significa que, naquele ponto, a curva sobe 6 unidades em
para cada 1 unidade em
.
Passo 5
Montar a equação da reta usando a forma ponto-inclinação. A fórmula é
onde
e
. Substituindo:
Agora simplificar a expressão:
Somando
em ambos os lados obtemos a forma simplificada da reta (forma explícita):