Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=x^{2}+4 x+1 no ponto (1,6).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}+4x+1 e o ponto (1,6). A pergunta é: escrever a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,6).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{2}+4x+1.
  • O ponto de tangência é (x_{0},y_{0})=(1,6).
  • Precisa-se da equação da reta tangente no ponto dado.

Passo 2

Ideia geral (explicada de forma didática): a reta tangente a uma curva num ponto tem como coeficiente angular (inclinação) o valor da derivada da função nesse ponto. Em termos práticos:
  • Primeiro encontramos a derivada f'(x), que dá a inclinação da curva em cada x.
  • Depois avaliamos f'(x) em x=1 para obter o coeficiente angular m da tangente em (1,6).
  • Por fim usamos a fórmula da reta conhecida como forma ponto-inclinação:
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde (x_{0},y_{0}) é o ponto de tangência e m é a inclinação.
Vou explicar e aplicar cada uma dessas etapas passo a passo.

Passo 3

Como se calcula a derivada aqui (uma mini-aula): para funções polinomiais aplica-se a regra potência (power rule). A regra diz que a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Também vale que a derivada de uma constante multiplicada por x é essa constante, e a derivada de uma constante absoluta é zero. Aplicando isso a cada termo de f(x)=x^{2}+4x+1:
  • Derivada de x^{2} é 2x.
  • Derivada de 4x é 4.
  • Derivada de 1 é 0.
    Portanto, a derivada da função é
f'(x)=2x+4.

Passo 4

Avaliar a derivada no ponto x=1 para obter a inclinação m:
m=f'(1)=2\cdot 1 + 4 = 2+4 = 6.
Interpretação: a reta tangente ao gráfico de f em x=1 tem coeficiente angular m=6. Isso significa que, naquele ponto, a curva sobe 6 unidades em y para cada 1 unidade em x.

Passo 5

Montar a equação da reta usando a forma ponto-inclinação. A fórmula é
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde (x_{0},y_{0})=(1,6) e m=6. Substituindo:
y-6=6(x-1).
Agora simplificar a expressão:
y-6=6x-6.
Somando 6 em ambos os lados obtemos a forma simplificada da reta (forma explícita):
y=6x.

Resposta

y=6x

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