Q20.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - A função integranda é
multiplicada por .
Passo 2
Ideia de transformação (sem resolver ainda): é comum substituir
por uma nova variável quando aparece tanto
quanto
, porque isso simplifica a expressão. Vamos fazer a substituição
Agora calculemos o diferencial: como
, temos
Também note que
e
. Substituindo tudo na integral original obtemos
Passo 3
Agora precisamos calcular
. Uma técnica adequada é integração por partes, porque temos um produto de uma função logarítmica (que simplifica ao derivar) por um polinômio (fácil de integrar). Recordando a fórmula da integração por partes:
onde escolhemos
como a parte que simplifica ao derivar e
como a parte fácil de integrar. Fazemos a escolha
Então calculamos
e
:
Passo 4
Aplicando integração por partes:
Colocando o fator
fora da integral:
Passo 5
Precisamos calcular
. Fazendo divisão polinomial simples:
(A verificação:
, restando
, portanto a decomposição está correta.)
Logo
Logo
Passo 6
Calcule as primitivas separadas:
Portanto
Voltando à expressão do Passo 4:
Passo 7
Simplifique a expressão obtida:
Agrupando os termos com
:
Passo 8
Volte à variável original
fazendo
. Substituindo:
Esse é o resultado final (com
constante de integração). Uma forma alternativa equivalente é expandir ou reagrupar os termos, mas a expressão acima já está bem organizada.
Passo 9
Checagem rápida (opcional, para ganhar confiança): derivando a expressão final usando regra do produto e cadeia deve retornar
. Fazer essa verificação passo a passo confirma que a primitiva encontrada está correta — recomendo praticar essa verificação na prova se sobrar tempo.