Q20. \int e^{2 x} \ln \left(1+e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int e^{2x}\ln\bigl(1+e^{x}\bigr)\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • A função integranda é e^{2x} multiplicada por \ln\bigl(1+e^{x}\bigr).

Passo 2

Ideia de transformação (sem resolver ainda): é comum substituir e^{x} por uma nova variável quando aparece tanto e^{x} quanto \ln(1+e^{x}), porque isso simplifica a expressão. Vamos fazer a substituição
t = e^{x}.
Agora calculemos o diferencial: como t=e^{x}, temos
dt = e^{x}\,dx = t\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{dt}{t}.
Também note que e^{2x}=(e^{x})^{2}=t^{2} e \ln(1+e^{x})=\ln(1+t). Substituindo tudo na integral original obtemos
\int e^{2x}\ln\bigl(1+e^{x}\bigr)\,dx = \int t^{2}\ln(1+t)\cdot\frac{dt}{t} = \int t\ln(1+t)\,dt.

Passo 3

Agora precisamos calcular \displaystyle \int t\ln(1+t)\,dt. Uma técnica adequada é integração por partes, porque temos um produto de uma função logarítmica (que simplifica ao derivar) por um polinômio (fácil de integrar). Recordando a fórmula da integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde escolhemos u como a parte que simplifica ao derivar e dv como a parte fácil de integrar. Fazemos a escolha
u=\ln(1+t),\qquad dv=t\,dt.
Então calculamos du e v:
du = \frac{1}{1+t}\,dt,\qquad v=\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}.

Passo 4

Aplicando integração por partes:
\int t\ln(1+t)\,dt = u v - \int v\,du = \frac{t^{2}}{2}\ln(1+t) - \int \frac{t^{2}}{2}\cdot\frac{1}{1+t}\,dt.
Colocando o fator 1/2 fora da integral:
\int t\ln(1+t)\,dt = \frac{t^{2}}{2}\ln(1+t) - \frac{1}{2}\int \frac{t^{2}}{1+t}\,dt.

Passo 5

Precisamos calcular \displaystyle \int \frac{t^{2}}{1+t}\,dt. Fazendo divisão polinomial simples:
\frac{t^{2}}{1+t} = t-1 + \frac{1}{1+t}.
(A verificação: (t-1)(1+t)=t^{2}-1, restando +1, portanto a decomposição está correta.)
Logo
\int \frac{t^{2}}{1+t}\,dt = \int\bigl(t-1\bigr)\,dt + \int\frac{1}{1+t}\,dt.

Passo 6

Calcule as primitivas separadas:
\int\bigl(t-1\bigr)\,dt = \int t\,dt - \int 1\,dt = \frac{t^{2}}{2}-t,
\int\frac{1}{1+t}\,dt = \ln|1+t|.
Portanto
\int \frac{t^{2}}{1+t}\,dt = \frac{t^{2}}{2}-t + \ln|1+t|.
Voltando à expressão do Passo 4:
\int t\ln(1+t)\,dt = \frac{t^{2}}{2}\ln(1+t) - \frac{1}{2}\Bigl(\frac{t^{2}}{2}-t + \ln|1+t|\Bigr) + C.

Passo 7

Simplifique a expressão obtida:
\int t\ln(1+t)\,dt = \frac{t^{2}}{2}\ln(1+t) - \frac{1}{4}t^{2} + \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}\ln|1+t| + C.
Agrupando os termos com \ln(1+t):
\int t\ln(1+t)\,dt = \frac{1}{2}\bigl(t^{2}-1\bigr)\ln(1+t) - \frac{1}{4}t^{2} + \frac{1}{2}t + C.

Passo 8

Volte à variável original x fazendo t=e^{x}. Substituindo:
\int e^{2x}\ln\bigl(1+e^{x}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\bigl(e^{2x}-1\bigr)\ln\bigl(1+e^{x}\bigr) - \frac{1}{4}e^{2x} + \frac{1}{2}e^{x} + C.
Esse é o resultado final (com C constante de integração). Uma forma alternativa equivalente é expandir ou reagrupar os termos, mas a expressão acima já está bem organizada.

Passo 9

Checagem rápida (opcional, para ganhar confiança): derivando a expressão final usando regra do produto e cadeia deve retornar e^{2x}\ln(1+e^{x}). Fazer essa verificação passo a passo confirma que a primitiva encontrada está correta — recomendo praticar essa verificação na prova se sobrar tempo.

Resposta

\dfrac{1}{2}\bigl(e^{2x}-1\bigr)\ln\bigl(1+e^{x}\bigr)-\dfrac{1}{4}e^{2x}+\dfrac{1}{2}e^{x}+C

Exercícios relacionados