Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função g(x)=x^{3} no ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=x^{3} e o ponto (0,0) do seu gráfico. A pergunta é: escrever a equação da reta tangente ao gráfico de g naquele ponto.
Informações fornecidas:
  • A função: g(x)=x^{3}.
  • O ponto de tangência: (0,0).
  • O que se pede: a equação da reta tangente em (0,0).

Passo 2

O que significa “reta tangente” aqui e como a encontramos na prova?
A reta tangente a uma curva em um ponto tem inclinação igual à derivada da função naquele ponto. Formalmente, se a função for diferenciável em x_0, o coeficiente angular m da tangente no ponto (x_0,y_0) é
m = g'(x_0) = \lim_{h\to 0}\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}.
Explicando cada parte:
  • g'(x_0) é a derivada de g em x_0, isto é, a taxa de variação instantânea de g em x_0.
  • h é um pequeno incremento em x; a expressão dentro do limite é o “coeficiente angular médio” entre x_0 e x_0+h.
    Na prática, para achar a tangente: (i) calcula-se g'(x_0) para obter m; (ii) usa-se a fórmula da reta passando por (x_0,y_0):
y-y_0 = m(x-x_0).

Passo 3

Vamos calcular g'(0) usando a definição de derivada (passo a passo, sem pular etapas):
Começamos com a diferença quociente em x_0=0:
\frac{g(0+h)-g(0)}{h}=\frac{(0+h)^{3}-0^{3}}{h}=\frac{h^{3}}{h}.
Simplificando a fração,
\frac{h^{3}}{h}=h^{2}.
Agora tomamos o limite quando h\to 0:
g'(0)=\lim_{h\to 0}h^{2}=0.
Portanto o coeficiente angular da tangente em (0,0) é m=0.
Observação alternativa (mais rápida, útil na prova): pela regra-potência, a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando a g(x)=x^{3} obtém-se g'(x)=3x^{2} e assim g'(0)=3\cdot 0^{2}=0. Isso confirma o resultado acima.

Passo 4

Agora usamos a fórmula da reta com ponto e coeficiente angular:
y-y_0 = m(x-x_0).
Substituindo x_0=0, y_0=0 e m=0,
y-0 = 0\cdot(x-0).
Isto simplifica para
y=0.

Passo 5

Interpretação e dica de prova: a tangente é a reta horizontal y=0. Geometricamente, isso significa que o gráfico de g(x)=x^{3} tem uma tangente horizontal na origem — o gráfico sobe para a direita e desce para a esquerda, mas exatamente no ponto (0,0) a inclinação instantânea é zero. Em prova, o fluxo de passos que funciona sempre é: (1) calcular g'(x_0) (pela definição ou por uma regra como a potência), (2) aplicar a fórmula da reta y-y_0=m(x-x_0).

Resposta

y=0

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