Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
do seu gráfico. A pergunta é: escrever a equação da reta tangente ao gráfico de
naquele ponto.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função:
. - O ponto de tangência:
. - O que se pede: a equação da reta tangente em
.
Passo 2
O que significa “reta tangente” aqui e como a encontramos na prova?
A reta tangente a uma curva em um ponto tem inclinação igual à derivada da função naquele ponto. Formalmente, se a função for diferenciável em , o coeficiente angular
da tangente no ponto
é
A reta tangente a uma curva em um ponto tem inclinação igual à derivada da função naquele ponto. Formalmente, se a função for diferenciável em
Explicando cada parte:
-
é a derivada de em , isto é, a taxa de variação instantânea de em . -
é um pequeno incremento em ; a expressão dentro do limite é o “coeficiente angular médio” entre e .
Na prática, para achar a tangente: (i) calcula-separa obter ; (ii) usa-se a fórmula da reta passando por :
Passo 3
Vamos calcular
usando a definição de derivada (passo a passo, sem pular etapas):
Começamos com a diferença quociente em :
Começamos com a diferença quociente em
Simplificando a fração,
Agora tomamos o limite quando
:
Portanto o coeficiente angular da tangente em
é
.
Observação alternativa (mais rápida, útil na prova): pela regra-potência, a derivada de
é
. Aplicando a
obtém-se
e assim
. Isso confirma o resultado acima.
Passo 4
Agora usamos a fórmula da reta com ponto e coeficiente angular:
Substituindo
,
e
,
Isto simplifica para
Passo 5
Interpretação e dica de prova: a tangente é a reta horizontal
. Geometricamente, isso significa que o gráfico de
tem uma tangente horizontal na origem — o gráfico sobe para a direita e desce para a esquerda, mas exatamente no ponto
a inclinação instantânea é zero. Em prova, o fluxo de passos que funciona sempre é: (1) calcular
(pela definição ou por uma regra como a potência), (2) aplicar a fórmula da reta
.