Q16. \int x^{2} \arcsin (x) d x

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular a integral
\int x^{2}\arcsin(x)\,dx.
Ou seja, dado o integrando x^{2}\arcsin(x), precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) em função de x, mais uma constante de integração C.

Passo 2

Estratégia: usar a fórmula de integração por partes. Vou te lembrar a fórmula e o raciocínio por trás dela de forma simples.
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhas que fazemos separando o integrando em dois fatores; du é a derivada de u e v é uma primitiva de dv. A ideia é escolher u de modo que sua derivada du seja mais simples que u, e dv de modo que possamos integrar facilmente para obter v.
Aqui é natural escolher
u=\arcsin(x),\qquad dv=x^{2}\,dx,
porque a derivada de \arcsin(x) é relativamente simples e \int x^{2}\,dx é direta. Agora calculamos du e v.

Passo 3

Calcular du e v:
du=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx, \qquad v=\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Agora aplicamos integração por partes:
\int x^{2}\arcsin(x)\,dx =uv-\int v\,du =\frac{x^{3}}{3}\arcsin(x)-\int\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Ou seja, definindo I=\int x^{2}\arcsin(x)\,dx,
I=\frac{x^{3}}{3}\arcsin(x)-\frac{1}{3}\int\frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Agora precisamos calcular
J=\int\frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.

Passo 4

Para calcular J é conveniente usar a substituição
t=1-x^{2}.
Isso é comum quando aparece \sqrt{1-x^{2}}. Então
dt=-2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=-\frac{1}{2}\,dt.
Escrevemos x^{3}\,dx como x^{2}\cdot x\,dx. Observando que x^{2}=1-t (porque t=1-x^{2}), obtemos:
J=\int\frac{x^{2}\cdot x\,dx}{\sqrt{1-x^{2}}} =\int\frac{(1-t)\cdot\left(-\frac{1}{2}\,dt\right)}{\sqrt{t}}.
Portanto
J=-\frac{1}{2}\int(1-t)t^{-1/2}\,dt.

Passo 5

Expandir e integrar termo a termo:
(1-t)t^{-1/2}=t^{-1/2}-t^{1/2}.
Então
J=-\frac{1}{2}\left(\int t^{-1/2}\,dt-\int t^{1/2}\,dt\right).
As primitivas são
\int t^{-1/2}\,dt=2t^{1/2},\qquad \int t^{1/2}\,dt=\frac{2}{3}t^{3/2}.
Substituindo:
J=-\frac{1}{2}\left(2t^{1/2}-\frac{2}{3}t^{3/2}\right) =-t^{1/2}+\frac{1}{3}t^{3/2}+C.

Passo 6

Voltar à variável x usando t=1-x^{2}:
J=-\sqrt{1-x^{2}}+\frac{1}{3}(1-x^{2})^{3/2}+C.
Agora retornamos à expressão para I:
I=\frac{x^{3}}{3}\arcsin(x)-\frac{1}{3}J =\frac{x^{3}}{3}\arcsin(x)-\frac{1}{3}\left(-\sqrt{1-x^{2}}+\frac{1}{3}(1-x^{2})^{3/2}\right)+C.

Passo 7

Fazer as contas finais para simplificar:
I=\frac{x^{3}}{3}\arcsin(x)+\frac{1}{3}\sqrt{1-x^{2}}-\frac{1}{9}(1-x^{2})^{3/2}+C.
Podemos factorar \sqrt{1-x^{2}} para uma forma mais compacta se preferir:
I=\frac{x^{3}}{3}\arcsin(x)+\frac{1}{9}(2+x^{2})\sqrt{1-x^{2}}+C,
pois \displaystyle \frac{1}{3}\sqrt{1-x^{2}}-\frac{1}{9}(1-x^{2})^{3/2}=\frac{1}{9}(2+x^{2})\sqrt{1-x^{2}}.

Resposta

\boxed{\displaystyle \int x^{2}\arcsin(x)\,dx=\frac{x^{3}}{3}\arcsin(x)+\frac{1}{9}(2+x^{2})\sqrt{1-x^{2}}+C.}

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