Q16.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular a integral
Ou seja, dado o integrando
, precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) em função de
, mais uma constante de integração
.
Passo 2
Estratégia: usar a fórmula de integração por partes. Vou te lembrar a fórmula e o raciocínio por trás dela de forma simples.
A fórmula de integração por partes é
onde
e
são escolhas que fazemos separando o integrando em dois fatores;
é a derivada de
e
é uma primitiva de
. A ideia é escolher
de modo que sua derivada
seja mais simples que
, e
de modo que possamos integrar facilmente para obter
.
Aqui é natural escolher
porque a derivada de
é relativamente simples e
é direta. Agora calculamos
e
.
Passo 3
Calcular
e
:
Agora aplicamos integração por partes:
Ou seja, definindo
,
Agora precisamos calcular
Passo 4
Para calcular
é conveniente usar a substituição
Isso é comum quando aparece
. Então
Escrevemos
como
. Observando que
(porque
), obtemos:
Portanto
Passo 5
Expandir e integrar termo a termo:
Então
As primitivas são
Substituindo:
Passo 6
Voltar à variável
usando
:
Agora retornamos à expressão para
:
Passo 7
Fazer as contas finais para simplificar:
Podemos factorar
para uma forma mais compacta se preferir:
pois
.