Escreva uma equação da reta vetorial e paramétrica r que passa pelos pontos A(-1,-3,1) e B(0,-2,3).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa por A(-1,-3,1) e B(0,-2,3). Vamos usar o conceito de vetor diretor, que é o vetor que indica a direção da reta, e depois escrever as formas vetorial e paramétrica da reta no espaço.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor \mathbf{v} subtraindo as coordenadas de A das de B:
\mathbf{v} = \overrightarrow{AB} = (0 - (-1),\, -2 - (-3),\, 3 - 1) = (1,\,1,\,2).

Passo 3

A equação vetorial da reta fica
\mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix}-1 \\\\ -3 \\\\ 1\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}1 \\\\ 1 \\\\ 2\end{pmatrix},
onde t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para a forma paramétrica, basta separar as componentes de \mathbf{r}(t). Isso dá
x = -1 + t, y = -3 + t e z = 1 + 2t, com t\in\mathbb{R}.

Resposta

Equação vetorial:
\mathbf{r}(t) = (-1,\,-3,\,1) + t\,(1,\,1,\,2).
Equações paramétricas:
x = -1 + t,\quad y = -3 + t,\quad z = 1 + 2t,\quad t\in\mathbb{R}.

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