Sabendo que \int_{-1}^{2} f(x) d x=5, \int_{-1}^{2} g(x) d x=-3 e \int_{-1}^{0} f(x) d x=7, calcule:
\int_{-1}^{2}\left(\int_{-1}^{0} f(s) g(t) d s\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\displaystyle \int_{-1}^{2}\Bigl(\int_{-1}^{0}f(s)\,g(t)\,ds\Bigr)\,dt,
sabendo que
\displaystyle \int_{-1}^{2}f(x)\,dx=5,
\displaystyle \int_{-1}^{2}g(x)\,dx=-3 e
\displaystyle \int_{-1}^{0}f(x)\,dx=7.
O conteúdo envolvido é a separação de variáveis em integrais de produto e a propriedade de Fubini/linearity das integrais.

Passo 2

Observe que dentro da integral em t temos
\displaystyle \int_{-1}^{0}f(s)\,g(t)\,ds.
Como g(t) não depende de s, podemos tirar g(t) para fora da integral em s, ficando
\int_{-1}^{0}f(s)\,g(t)\,ds = g(t)\,\int_{-1}^{0}f(s)\,ds.

Passo 3

Pelo enunciado,
\displaystyle \int_{-1}^{0}f(s)\,ds = 7.
Logo
\int_{-1}^{0}f(s)\,g(t)\,ds = 7\,g(t).

Passo 4

Substituindo na integral original, temos
\int_{-1}^{2}\Bigl(\int_{-1}^{0}f(s)\,g(t)\,ds\Bigr)\,dt = \int_{-1}^{2} 7\,g(t)\,dt = 7 \int_{-1}^{2}g(t)\,dt.

Passo 5

Também pelo enunciado,
\displaystyle \int_{-1}^{2}g(t)\,dt = -3.
Portanto
7 \int_{-1}^{2}g(t)\,dt = 7 \times (-3) = -21.

Resposta

-21

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