Sabendo que \int_{-1}^{2} f(x) d x=5, \int_{-1}^{2} g(x) d x=-3\) e \(\int_{-1}^{0} f(x) d x=7\), calcule: \(\int_{-1}^{2} h(x) d x\) se \(h(x)= \begin{cases}f(x) ; & x \neq 1 \\\\ 5 ; & x=1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede \int_{-1}^{2}h(x)\,dx\) sabendo que \[h(x)= \begin{cases} f(x),&x\neq1,\\\\ 5,&x=1, \end{cases}
e que (\int_{-1}^{2}f(x),dx=5]. O conteúdo é a propriedade de que alterar o valor de uma função em um ponto não afeta sua integral.

Passo 2

Em integração de Riemann (ou Lebesgue), um ponto isolado tem medida zero, logo modificar a função em x=1 não altera a integral. Assim
\int_{-1}^{2}h(x)\,dx=\int_{-1}^{2}f(x)\,dx.

Passo 3

Como \int_{-1}^{2}f(x)\,dx=5, concluímos
\int_{-1}^{2}h(x)\,dx=5.

Resposta

5

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