Escreva a equação de Schrodinger em três dimensões, considerando as duas formas de coordenadas a seguir:
a) Em coordenadas cartesianas: (x, y, z)
b) Em coordenadas esféricas: (r, theta, phi)
Explique o significado de cada termo presente nas equações e suas implicações físicas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é escrever a equação de Schrödinger em três dimensões usando dois tipos de coordenadas: cartesianas (x, y, z) e esféricas (r, theta, phi). Para isso, precisamos entender a equação de Schrödinger, que é fundamental na mecânica quântica, e como ela se adapta a diferentes sistemas de coordenadas. Vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas parciais e operadores diferenciais nesses sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a equação de Schrödinger em coordenadas cartesianas. A equação dependente do tempo é escrita assim:
ihbar partial Psi(x, y, z, t)partial t = ( -hbar^22m ( partial^2partial x^2 + partial^2partial y^2 + partial^2partial z^2 ) + V(x, y, z) ) Psi(x, y, z, t)
Explicando cada termo:
  • i é a unidade imaginária.
  • hbar é a constante de Planck reduzida.
  • Psi(x, y, z, t) é a função de onda que descreve o estado quântico do sistema.
  • partial Psipartial t representa como a função de onda muda no tempo.
  • partial^2partial x^2 + partial^2partial y^2 + partial^2partial z^2 são as derivadas segundas que formam o operador Laplaciano em coordenadas cartesianas, relacionado à energia cinética.
  • V(x, y, z) é o potencial, que pode depender das posições x, y, z.
Essa equação mostra como a função de onda evolui no tempo sob a influência de um potencial V.

Passo 3

Agora, vamos para a equação de Schrödinger em coordenadas esféricas. Nessa coordenada, o operador Laplaciano fica diferente devido à geometria do sistema. A equação fica:
ihbar partial Psi(r, theta, phi, t)partial t = ( -hbar^22m ( 1r^2partialpartial r( r^2 partialpartial r ) + 1r^2 sin theta partialpartial theta ( sin theta partialpartial theta ) + 1r^2 sin^2 theta partial^2partial phi^2 ) + V(r, theta, phi) ) Psi(r, theta, phi, t)
Explicando cada termo:
  • r, theta, phi são as coordenadas esféricas, representando a distância radial, o ângulo polar e o ângulo azimutal, respectivamente.
  • 1r^2partialpartial r( r^2 partialpartial r ) é a parte radial do operador Laplaciano.
  • 1r^2 sin theta partialpartial theta ( sin theta partialpartial theta ) é a parte angular no plano polar.
  • 1r^2 sin^2 theta partial^2partial phi^2 é a parte angular no plano azimutal.
  • V(r, theta, phi) é o potencial em coordenadas esféricas.
Essa versão é especialmente útil para sistemas com simetria esférica, como o átomo de hidrogênio.

Resposta

Então, resumindo, as equações de Schrödinger em três dimensões são:
a) Coordenadas cartesianas:
ihbar partial Psi(x, y, z, t)partial t = ( -hbar^22m ( partial^2partial x^2 + partial^2partial y^2 + partial^2partial z^2 ) + V(x, y, z) ) Psi(x, y, z, t)
b) Coordenadas esféricas:
ihbar partial Psi(r, theta, phi, t)partial t = ( -hbar^22m ( 1r^2partialpartial r( r^2 partialpartial r ) + 1r^2 sin theta partialpartial theta ( sin theta partialpartial theta ) + 1r^2 sin^2 theta partial^2partial phi^2 ) + V(r, theta, phi) ) Psi(r, theta, phi, t)
Cada termo na equação representa componentes da energia cinética e potencial do sistema, adaptados ao sistema de coordenadas escolhido. A forma escolhida facilita a resolução dependendo da simetria do problema em questão.

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