Escreva a equação de Schrodinger em três dimensões, considerando as duas formas de coordenadas a seguir:
a) Em coordenadas cartesianas:
b) Em coordenadas esféricas:
Explique o significado de cada termo presente nas equações e suas implicações físicas.
a) Em coordenadas cartesianas:
b) Em coordenadas esféricas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é escrever a equação de Schrödinger em três dimensões usando dois tipos de coordenadas: cartesianas
e esféricas
. Para isso, precisamos entender a equação de Schrödinger, que é fundamental na mecânica quântica, e como ela se adapta a diferentes sistemas de coordenadas. Vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas parciais e operadores diferenciais nesses sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a equação de Schrödinger em coordenadas cartesianas. A equação dependente do tempo é escrita assim:
Explicando cada termo:
-
é a unidade imaginária. -
é a constante de Planck reduzida. -
é a função de onda que descreve o estado quântico do sistema. -
representa como a função de onda muda no tempo. -
são as derivadas segundas que formam o operador Laplaciano em coordenadas cartesianas, relacionado à energia cinética. -
é o potencial, que pode depender das posições , , .
Essa equação mostra como a função de onda evolui no tempo sob a influência de um potencial
.
Passo 3
Agora, vamos para a equação de Schrödinger em coordenadas esféricas. Nessa coordenada, o operador Laplaciano fica diferente devido à geometria do sistema. A equação fica:
Explicando cada termo:
-
, , são as coordenadas esféricas, representando a distância radial, o ângulo polar e o ângulo azimutal, respectivamente. -
é a parte radial do operador Laplaciano. -
é a parte angular no plano polar. -
é a parte angular no plano azimutal. -
é o potencial em coordenadas esféricas.
Essa versão é especialmente útil para sistemas com simetria esférica, como o átomo de hidrogênio.
Resposta
Então, resumindo, as equações de Schrödinger em três dimensões são:
a) Coordenadas cartesianas:
b) Coordenadas esféricas:
Cada termo na equação representa componentes da energia cinética e potencial do sistema, adaptados ao sistema de coordenadas escolhido. A forma escolhida facilita a resolução dependendo da simetria do problema em questão.