Considere um projétil arremessado de uma posição a 1,0 metro de altura do solo, com um ângulo de 37^circ em relação à horizontal. Existe um alvo a 8,0 m de distância, na horizontal, da posição de lançamento do projétil, e a 2,0 metros de altura do solo. Calcule o módulo da velocidade inicial do projétil para que ele acerte o alvo e assinale a opção correta.
Dados: sin 37^0=0,6, cos 37^0=0,8, e g=10,0 m / s^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um projétil que é lançado de uma altura de 1,0 metro, com um ângulo de 37^circ em relação à horizontal. O alvo está a 8,0 metros de distância na horizontal e a 2,0 metros de altura do solo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual deve ser a velocidade inicial do projétil para que ele atinja o alvo exatamente. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento parabólico e as equações de cinemática. Vamos precisar das funções trigonométricas dadas ( sin 37^circ=0,6 e cos 37^circ=0,8) e da aceleração da gravidade g=10,0 , m/s^2.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes horizontal e vertical da velocidade inicial. Quando um projétil é lançado com uma certa velocidade e ângulo, sua velocidade inicial ( v0) pode ser decomposta em duas partes:
  • Componente horizontal: v0x = v0 cdot cos(theta)
  • Componente vertical: v0y = v0 cdot sin(theta)
Aqui, theta = 37^circ, então:
v0x = v0 cdot 0,8
v0y = v0 cdot 0,6

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento horizontal. No movimento horizontal, não há aceleração (desconsiderando o atrito do ar), então a distância percorrida na horizontal ( x) é dada por:
x = v0x cdot t
Queremos que o projétil alcance 8,0 metros, então:
8,0 = v0 cdot 0,8 cdot t
Podemos rearranjar para encontrar o tempo ( t) em termos de v0:
t = 8,00,8 cdot v0 = 10v0

Passo 4

Vamos agora analisar o movimento vertical. A posição vertical do projétil em função do tempo é dada por:
y = y0 + v0y cdot t - 12 g t^2
Onde:
  • y0 é a altura inicial (1,0 m)
  • v0y = v0 cdot 0,6
  • g = 10,0 , m/s^2
Queremos que o projétil atinja uma altura de 2,0 metros no mesmo tempo em que percorre 8,0 metros na horizontal. Substituindo os valores:
2,0 = 1,0 + v0 cdot 0,6 cdot t - 5 cdot t^2
Subtraindo 1,0 de ambos os lados:
1,0 = 0,6 v0 t - 5 t^2

Passo 5

Lembrando que encontramos que t = 10v0, vamos substituir t na equação acima:
1,0 = 0,6 v0 cdot 10v0 - 5 ( 10v0 )^2
Simplificando:
1,0 = 6,0 - 500v0^2
Subtraindo 6,0 de ambos os lados:
-5,0 = -500v0^2
Multiplicando ambos os lados por v0^2:
-5,0 v0^2 = -500
Dividindo por -5,0:
v0^2 = 100

Passo 6

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar v0:
v0 = raiz100 = 10,0 , m/s

Resposta

A velocidade inicial necessária para o projétil acertar o alvo é de 10,0 metros por segundo.

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