Considere um projétil arremessado de uma posição a 1,0 metro de altura do solo, com um ângulo de
relação à horizontal. Existe um alvo a
de distância, na horizontal, da posição de lançamento do projétil, e a 2,0 metros de altura do solo. Calcule o módulo da velocidade inicial do projétil para que ele acerte o alvo e assinale a opção correta.
Dados:
, e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um projétil que é lançado de uma altura de 1,0 metro, com um ângulo de
em relação à horizontal. O alvo está a 8,0 metros de distância na horizontal e a 2,0 metros de altura do solo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual deve ser a velocidade inicial do projétil para que ele atinja o alvo exatamente. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento parabólico e as equações de cinemática. Vamos precisar das funções trigonométricas dadas (
e
) e da aceleração da gravidade
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes horizontal e vertical da velocidade inicial. Quando um projétil é lançado com uma certa velocidade e ângulo, sua velocidade inicial (
) pode ser decomposta em duas partes:
- Componente horizontal:
- Componente vertical:
Aqui,
, então:
Passo 3
Agora, vamos analisar o movimento horizontal. No movimento horizontal, não há aceleração (desconsiderando o atrito do ar), então a distância percorrida na horizontal (
) é dada por:
Queremos que o projétil alcance 8,0 metros, então:
Podemos rearranjar para encontrar o tempo (
) em termos de
:
Passo 4
Vamos agora analisar o movimento vertical. A posição vertical do projétil em função do tempo é dada por:
Onde:
-
é a altura inicial (1,0 m) -
-
Queremos que o projétil atinja uma altura de 2,0 metros no mesmo tempo em que percorre 8,0 metros na horizontal. Substituindo os valores:
Subtraindo 1,0 de ambos os lados:
Passo 5
Lembrando que encontramos que
, vamos substituir
na equação acima:
Simplificando:
Subtraindo 6,0 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por -5,0:
Passo 6
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
A velocidade inicial necessária para o projétil acertar o alvo é de 10,0 metros por segundo.