Considere uma partícula se movimentando em um plano xy. Sabendo que as coordenadas cartesianas da partícula são
com
e
medidos em metros e
em segundos, determine o instante, em segundos, no qual a velocidade da partícula é mínima.
com
e
medidos em metros et em segundos, em que instante, em segundos, a velocidade da partícula é mínima? Sugestão: considere que as componentes da velocidade são dadas pelas relações
analise as condições para as quais o módulo do vetor velocidade é mínimo.
com
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula se movendo no plano xy, com as coordenadas dadas por:
Queremos descobrir em que instante
a velocidade da partícula é mínima. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente sobre como calcular a velocidade a partir das componentes
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as componentes da velocidade. A velocidade em cada direção é a derivada da posição em relação ao tempo. Já temos as componentes dadas:
Isso significa que a velocidade na direção x é constante (
m/s) e a velocidade na direção y varia com o tempo.
Passo 3
A velocidade total da partícula é um vetor que combina
e
. O módulo (ou tamanho) da velocidade, que é o que queremos minimizar, é dado por:
Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Para facilitar a minimização, vamos minimizar o quadrado da velocidade (
), já que o mínimo de
ocorre no mesmo instante do mínimo de
:
Vamos expandir o termo
:
Passo 5
Agora, para encontrar o mínimo, vamos derivar
em relação ao tempo
e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Resposta
O instante no qual a velocidade da partícula é mínima é
segundos.