Considere uma partícula se movimentando em um plano xy. Sabendo que as coordenadas cartesianas da partícula são
com x e y medidos em metros e t em segundos, determine o instante, em segundos, no qual a velocidade da partícula é mínima.
x & =2 t y & =2 t-5 t^2
com x e y medidos em metros et em segundos, em que instante, em segundos, a velocidade da partícula é mínima? Sugestão: considere que as componentes da velocidade são dadas pelas relações
vx & =2 vy & =2-10 t
analise as condições para as quais o módulo do vetor velocidade é mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula se movendo no plano xy, com as coordenadas dadas por:
x & =2 t y & =2 t-5 t^2
Queremos descobrir em que instante t a velocidade da partícula é mínima. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente sobre como calcular a velocidade a partir das componentes vx e vy .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as componentes da velocidade. A velocidade em cada direção é a derivada da posição em relação ao tempo. Já temos as componentes dadas:
vx & =2 vy & =2-10 t
Isso significa que a velocidade na direção x é constante ( vx = 2 m/s) e a velocidade na direção y varia com o tempo.

Passo 3

A velocidade total da partícula é um vetor que combina vx e vy . O módulo (ou tamanho) da velocidade, que é o que queremos minimizar, é dado por:
v = raizvx^2 + vy^2
Substituindo os valores que temos:
v = raiz2^2 + (2 - 10 t)^2 = raiz4 + (2 - 10 t)^2

Passo 4

Para facilitar a minimização, vamos minimizar o quadrado da velocidade ( v^2 ), já que o mínimo de v ocorre no mesmo instante do mínimo de v^2 :
v^2 = 4 + (2 - 10 t)^2
Vamos expandir o termo (2 - 10 t)^2 :
v^2 = 4 + 4 - 40 t + 100 t^2 = 8 - 40 t + 100 t^2

Passo 5

Agora, para encontrar o mínimo, vamos derivar v^2 em relação ao tempo t e igualar a zero:
d(v^2)dt = -40 + 200 t = 0
Resolvendo para t :
-40 + 200 t = 0 200 t = 40 t = 40200 t = 0,2 segundos

Resposta

O instante no qual a velocidade da partícula é mínima é t = 0,2 segundos.

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