Escreva a equação de velocidade para os seguintes processos elementares:
2 \mathrm{X} \longrightarrow produtos;

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva a equação de velocidade para o processo elementar
2\mathrm{X}\longrightarrow\text{produtos}.
Informações dadas:
  • A reação é elementar (isso é importante);
  • A estequiometria do reagente é 2 para \mathrm{X};
  • Não há outros dados numéricos.
O que é pedido explicitamente: a equação de velocidade (rate law) do processo.

Passo 2

O que significa “elementar” e por que isso importa (explicação didática, sem pular etapas).
  • Um processo elementar é uma etapa molecular única em que as moléculas reagentes colidem e reagem numa só colisão.
  • Para uma reação elementar, a lei de velocidade tem a mesma forma que a “molecularidade”: a velocidade é proporcional ao produto das concentrações dos reagentes, cada uma elevada ao expoente igual ao seu coeficiente estequiométrico nessa etapa elementar.
  • No caso 2\mathrm{X}\to produtos, a molecularidade é bimolecular entre duas moléculas idênticas \mathrm{X}. Logo a probabilidade de reação depende de encontros entre pares de \mathrm{X}, e o número de encontros (por volume) cresce aproximadamente com o quadrado da concentração de \mathrm{X}.
Definições úteis:
  • [\mathrm{X}] é a concentração de \mathrm{X} (por exemplo, mol·L^{-1});
  • k é a constante de velocidade (constante de proporcionalidade), que depende de temperatura, natureza das espécies etc.

Passo 3

Escrevendo a lei de velocidade a partir do argumento acima:
  • Como a reação é elementar e precisa da colisão de dois \mathrm{X}, a velocidade é proporcional a [\mathrm{X}]^2.
    Portanto a equação de velocidade (forma usual) é
r = k\,[\mathrm{X}]^{2},
onde:
  • r é a velocidade da reação (unidade típica: concentração·tempo^{-1}, ex.: mol·L{-1}·s{-1});
  • k é a constante de velocidade (unidade para esta lei: concentração{-1}·tempo{-1}, ex.: L·mol{-1}·s{-1});
  • [\mathrm{X}] é a concentração instantânea de \mathrm{X}.

Passo 4

Relacionando a velocidade da reação com a variação temporal da concentração de \mathrm{X} (importante para resolver problemas):
  • Em geral, para uma reação \nu_i\mathrm{A}_i\to produtos, define‑se a velocidade por
r = -\frac{1}{\nu_i}\frac{d[\mathrm{A}_i]}{dt}.
  • Aqui \nu_{\mathrm{X}}=2. Então
r = -\frac{1}{2}\frac{d[\mathrm{X}]}{dt}.
  • Substituindo r=k[\mathrm{X}]^{2} obtemos a equação diferencial que descreve o consumo de \mathrm{X}:
\frac{d[\mathrm{X}]}{dt} = -2k\,[\mathrm{X}]^{2}.
Explicação do sinal: o sinal negativo indica que [\mathrm{X}] diminui com o tempo.

Passo 5

Integração da equação diferencial (útil para obter [\mathrm{X}](t) e meia‑vida; mostro passo a passo):
  • Partir de
\frac{d[\mathrm{X}]}{dt} = -2k\,[\mathrm{X}]^{2}.
  • Separar variáveis:
\frac{d[\mathrm{X}]}{[\mathrm{X}]^{2}} = -2k\,dt.
  • Integrar de t=0 (concentração inicial [\mathrm{X}]_0) até t (concentração [\mathrm{X}]_t):
\int_{[\mathrm{X}]_0}^{[\mathrm{X}]_t}\frac{d[\mathrm{X}]}{[\mathrm{X}]^{2}}=\int_{0}^{t}-2k\,dt.
  • A integral do lado esquerdo dá -\dfrac{1}{[\mathrm{X}]}, logo
-\frac{1}{[\mathrm{X}]_t}+\frac{1}{[\mathrm{X}]_0} = -2k t.
  • Reorganizando,
\frac{1}{[\mathrm{X}]_t} = \frac{1}{[\mathrm{X}]_0} + 2k t.
Isso é a expressão integrada para [\mathrm{X}](t) para esta reação de segunda ordem (em [\mathrm{X}]).

Passo 6

Meia‑vida (dica prática para prova):
  • Definição: t_{1/2} satisfaz [\mathrm{X}]_{t_{1/2}} = \tfrac{1}{2}[\mathrm{X}]_0.
  • Usando a expressão integrada:
\frac{1}{[\mathrm{X}]_{t_{1/2}}} = \frac{1}{[\mathrm{X}]_0} + 2k t_{1/2},
substituindo [\mathrm{X}]_{t_{1/2}}=\tfrac{1}{2}[\mathrm{X}]_0 vem
2\frac{1}{[\mathrm{X}]_0} = \frac{1}{[\mathrm{X}]_0} + 2k t_{1/2},
logo
t_{1/2}=\frac{1}{2k\,[\mathrm{X}]_0}.
Observação: a meia‑vida depende da concentração inicial (característico de reações de segunda ordem).

Passo 7

Resumo rápido para a prova (receita prática):
  • Se a etapa for elementar, escreva a lei com expoentes iguais aos coeficientes estequiométricos.
  • Para 2\mathrm{X}\to produtos: memorize que r=k[\mathrm{X}]^{2} e que \dfrac{d[\mathrm{X}]}{dt}=-2k[\mathrm{X}]^{2}.
  • Se pedirem [\mathrm{X}](t) ou t_{1/2}, use as fórmulas integradas que apresentei.

Resposta

r = k\,[\mathrm{X}]^{2}
\dfrac{d[\mathrm{X}]}{dt} = -2k\,[\mathrm{X}]^{2}

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