Escreva a equação vetorial do plano π2 que contém os pontos:
\mathrm{M}(0,-3,0), \mathrm{N}(1,2,2) e \mathrm{P}(-5,1,1)

Passo 1

O problema pede a equação vetorial do plano \pi_2 que passa pelos pontos \mathrm{M}(0,-3,0), \mathrm{N}(1,2,2) e \mathrm{P}(-5,1,1).
No espaço, uma forma prática de escrever a equação vetorial de um plano é usar um ponto qualquer do plano e dois vetores não colineares que morem nele.

Passo 2

Vamos obter dois vetores diretores do plano tirando diferenças entre as coordenadas de M, N e P:
\overrightarrow{MN} = \bigl(1-0,\;2-(-3),\;2-0\bigr) = (1,5,2),
\overrightarrow{MP} = \bigl(-5-0,\;1-(-3),\;1-0\bigr) = (-5,4,1).

Passo 3

Observamos que \overrightarrow{MN} e \overrightarrow{MP} não são múltiplos um do outro (por exemplo, 1/(-5)\neq5/4), logo são vetores não colineares e servem como direções do plano.

Passo 4

Escolhendo o ponto \mathrm{M}(0,-3,0) como ponto-base \mathbf{r}_0, a equação vetorial paramétrica do plano é
\mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + s\,\overrightarrow{MN} + t\,\overrightarrow{MP},
onde s e t são parâmetros em \mathbb{R}. Substituindo:
\mathbf{r} = (0,\,-3,\,0) + s\,(1,\,5,\,2) + t\,(-5,\,4,\,1).

Resposta

A equação vetorial do plano \pi_2 é
\mathbf{r} = (0,\,-3,\,0) + s\,(1,\,5,\,2) + t\,(-5,\,4,\,1),\quad s,t\in\mathbb{R}.

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