(Questão 04) [2,0 pontos] O lado B C de um triângulo equilátero está contido na reta r: X=(0,0,0)+\lambda(0,1,-1) e seu vértice opsto é A=(1,1,0). Determine B e C.

Passo 1

O enunciado diz que o lado BC de um triângulo equilátero está todo sobre a reta
r: X = (0,0,0) + \lambda\,(0,1,-1)
e que o vértice oposto é
A = (1,1,0).
O conteúdo aqui é geometria analítica em \mathbb{R}^3, usando a definição de distância
\|P - Q\| = \sqrt{(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2 + (z_Q - z_P)^2}.

Passo 2

Como B e C estão em r, podemos escrevê-los por parâmetros t e s:
B = (0,t,-t), \quad C = (0,s,-s).
A seguir expressamos as três distâncias que devem ser iguais em um triângulo equilátero:
BC = \|C - B\|, \quad AB = \|A - B\|, \quad AC = \|A - C\|.

Passo 3

Calculemos cada uma:
C - B = (0,\,s - t,\,-(s - t)) \;\Longrightarrow\; BC = \sqrt{(s - t)^2 + (-(s - t))^2} = |s - t|\sqrt{2}.
A - B = (1 - 0,\;1 - t,\;0 + t) = (1,\;1-t,\;t) \;\Longrightarrow\; AB = \sqrt{1 + (1 - t)^2 + t^2}.
A - C = (1 - 0,\;1 - s,\;0 + s) = (1,\;1-s,\;s) \;\Longrightarrow\; AC = \sqrt{1 + (1 - s)^2 + s^2}.

Passo 4

Para ser equilátero basta impor \,AB = AC e \,AB = BC. Primeiro
AB = AC \;\Longrightarrow\; 1 + (1 - t)^2 + t^2 \;=\; 1 + (1 - s)^2 + s^2 \;\Longrightarrow\; (t - s)\bigl(t + s - 1\bigr) = 0.
Como t\neq s (senão B=C), vem
t + s = 1.

Passo 5

Agora igualamos AB = BC. Elevando ao quadrado:
1 + (1 - t)^2 + t^2 \;=\; 2\,(s - t)^2.
Como s = 1 - t, temos s - t = 1 - 2t. Logo
2 + 2t^2 - 2t = 2\,(1 - 2t)^2 = 2 - 8t + 8t^2 \;\Longrightarrow\; 6t^2 - 6t = 0 \;\Longrightarrow\; t(t - 1) = 0.
Assim t = 0 ou t = 1, e então s = 1 - t dá exatamente os pares (t,s)=(0,1) ou (1,0).

Passo 6

Isso gera, a menos de troca de nomes B\leftrightarrow C, os pontos:
B = (0,0,0), \quad C = (0,1,-1).

Resposta

B = (0,0,0), \quad C = (0,1,-1)
(ou vice-versa).

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