{ }^{1 \text { a }}. Questão (3pts): Um condutor de comprimento L e seção transversal uniforme tem uma queda de tensão V_{0} entre suas extremidades. A condutor é composto por dois materiais cilindros concêntricos, de condutividade \sigma_{1}-\sigma_{2}, e raio a e b, respectivamente.
a) DERIVE uma expressão para a condutância do condutor, G.
b) Dado que o material 1 é um filme metálico de \operatorname{NiCr}\left(\sigma=10^{6} \mho / \mathrm{m}\right) e o material 2 é um filme de carbono ( \sigma=10^{5} \mho / \mathrm{m} ), e que a razão a / L=2 e b / L=3. Calcule a condutância por unidade de comprimento do condutor, G / L. (Expresse o resultado em MU).

Passo 1

O enunciado descreve um condutor de comprimento L formado por dois cilindros concêntricos de raios a e b e condutividades \sigma_{1} e \sigma_{2}. Pede-se (a) derivar a condutância total G em função de L,a,b,\sigma_{1},\sigma_{2} e (b) calcular G/L para \sigma_{1}=10^{6}\,\Omega^{-1}\!/\mathrm{m}, \sigma_{2}=10^{5}\,\Omega^{-1}\!/\mathrm{m}, a/L=2 e b/L=3. O conteúdo usado será a fórmula da condutância de um cilindro,
G=\frac{\sigma A}{L},
e a ideia de que as duas regiões estão em paralelo.

Passo 2

Cada região cilíndrica oferece uma condutância
G_{1}=\frac{\sigma_{1}\,\pi a^{2}}{L}, \quad G_{2}=\frac{\sigma_{2}\,\pi\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)}{L}.
Aqui usamos que a área da seção transversal do cilindro interno é \pi a^{2} e a da casca externa é \pi(b^{2}-a^{2}).

Passo 3

Como os dois cilindros concêntricos conduzem em paralelo, a condutância total é
G =G_{1}+G_{2} =\frac{\sigma_{1}\,\pi a^{2}}{L} +\frac{\sigma_{2}\,\pi\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)}{L} =\frac{\pi}{L}\bigl(\sigma_{1}a^{2}+\sigma_{2}(b^{2}-a^{2})\bigr).

Passo 4

Para achar a condutância por unidade de comprimento, divida G por L:
\frac{G}{L} =\frac{\pi}{L^{2}}\bigl(\sigma_{1}a^{2}+\sigma_{2}(b^{2}-a^{2})\bigr) =\pi\Bigl[\sigma_{1}\bigl(\tfrac{a}{L}\bigr)^{2} +\sigma_{2}\Bigl(\bigl(\tfrac{b}{L}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{a}{L}\bigr)^{2}\Bigr)\Bigr].

Passo 5

Substituindo \tfrac{a}{L}=2 e \tfrac{b}{L}=3, tem-se
\frac{G}{L} =\pi\bigl[\sigma_{1}\cdot 2^{2}+\sigma_{2}(3^{2}-2^{2})\bigr] =\pi\bigl[4\,\sigma_{1}+5\,\sigma_{2}\bigr].

Passo 6

Com \sigma_{1}=10^{6}\,\Omega^{-1}/\mathrm{m} e \sigma_{2}=10^{5}\,\Omega^{-1}/\mathrm{m}, obtemos
\frac{G}{L} =\pi\bigl(4\times 10^{6}+5\times 10^{5}\bigr) =\pi\,(4{,}5\times 10^{6}) =4{,}5\times 10^{6}\,\pi\;\Omega^{-1}\!/\mathrm{m} \approx 1{,}4137\times 10^{7}\,\Omega^{-1}\!/\mathrm{m}.
Em MU (onde 1\,\mathrm{MU}=10^{6}\,\Omega^{-1}), isso dá cerca de 14{,}14,MU.

Resposta

\text{(a) }G=\frac{\pi}{L}\bigl(\sigma_{1}a^{2}+\sigma_{2}(b^{2}-a^{2})\bigr).
\text{(b) }\frac{G}{L}=4{,}5\times 10^{6}\,\pi\;\Omega^{-1}\!/\mathrm{m}\approx14{,}14\;\mathrm{MU}.

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