Escreva as equações para calcular a tensão efetiva de von Mises a partir das tensões aplicadas e a partir das tensões principais considerando os casos 2D e 3D.

Passo 1

O enunciado pede as expressões da tensão efetiva de von Mises no caso tridimensional (3D) e bidimensional (2D), tanto em função das componentes do tensor de tensões \sigma_x,\sigma_y,\sigma_z,\tau_{xy},\tau_{yz},\tau_{zx} como em função das tensões principais \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3. O conteúdo é a teoria de falha de von Mises, que se baseia na segunda invariante do tensor desviador ou nas diferenças entre tensões principais.

Passo 2

Para o caso 3D em função das componentes de tensão, usamos a forma prática que resulta da invariante J_2:
\sigma_{vm} = \sqrt{\tfrac{1}{2}\Bigl[(\sigma_x-\sigma_y)^2+(\sigma_y-\sigma_z)^2+(\sigma_z-\sigma_x)^2 +6\bigl(\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2+\tau_{zx}^2\bigr)\Bigr]}\,.

Passo 3

Para o caso 3D em função das tensões principais \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3, a tensão de von Mises fica
\sigma_{vm} = \sqrt{\tfrac{1}{2}\Bigl[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\Bigr]}\,.

Passo 4

No caso 2D (tensão plana) em função das componentes, assume-se \sigma_z=0 e \tau_{yz}=\tau_{zx}=0. A expressão simplificada é
\sigma_{vm} = \sqrt{\sigma_x^2 \;-\;\sigma_x\,\sigma_y\;+\;\sigma_y^2 \;+\;3\,\tau_{xy}^2}\,.

Passo 5

No caso 2D em função das duas tensões principais \sigma_1 e \sigma_2 (com \sigma_3=0), temos
\sigma_{vm} = \sqrt{\sigma_1^2 \;-\;\sigma_1\,\sigma_2\;+\;\sigma_2^2}\,.

Resposta

Caso 3D (componentes):
\sigma_{vm} = \sqrt{\tfrac{1}{2}\bigl[(\sigma_x-\sigma_y)^2+(\sigma_y-\sigma_z)^2+(\sigma_z-\sigma_x)^2 +6(\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2+\tau_{zx}^2)\bigr]}\,.
Caso 3D (princiais):
\sigma_{vm} = \sqrt{\tfrac{1}{2}\bigl[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\bigr]}\,.
Caso 2D (componentes):
\sigma_{vm} = \sqrt{\sigma_x^2 - \sigma_x\,\sigma_y + \sigma_y^2 + 3\,\tau_{xy}^2}\,.
Caso 2D (princiais):
\sigma_{vm} = \sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1\,\sigma_2 + \sigma_2^2}\,.

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