Qual é o principal critério/teoria de falha para materiais frágeis sujeitos a carregamento estático? Como é calculada a tensão efetiva baseada nesse critério/teoria para o caso 3D?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a teoria de falha mais usada em materiais frágeis sob carregamento estático e como, nessa teoria, define-se a “tensão efetiva” no caso geral tridimensional. O conteúdo aqui é teoria de falha por tensão normal máxima (ou critério de Rankine) e cálculo de tensões principais via invariantes do tensor de tensões.

Passo 2

Em materiais frágeis a fratura costuma ocorrer quando a maior tensão normal local atinge a resistência à tração do material. Esse é o chamado critério de tensão normal máxima (Rankine):
– Define-se \sigma_1\ge\sigma_2\ge\sigma_3 como as três tensões principais (autovalores do tensor de tensões).
– O material falha se
\sigma_1 \;\ge\;\sigma_t \quad\text{(fratura por tração)}çã
ou
\sigma_3 \;\le\;-\,\sigma_c \quad\text{(fratura por compressão),}ã
onde \sigma_t é a resistência à tração e \sigma_c é a resistência à compressão.

Passo 3

Para unificar a verificação de falha, introduz-se um Índice de Falha
F \;=\;\max\!\Bigl(\frac{\sigma_1}{\sigma_t},\;-\frac{\sigma_3}{\sigma_c}\Bigr)
e o material fracassa quando F\ge1. Daí se define a tensão efetiva
\sigma_{\mathrm{ef}} \;=\;\max(\sigma_1,\;-\sigma_3)\,,
ou, de modo mais simples para tração pura,
\sigma_{\mathrm{ef}} \;=\;\sigma_1.

Passo 4

Restou explicar como determinar \sigma_1 a partir dos componentes gerais \sigma_{ij} em 3D. Primeiro calcule os invariantes do tensor de tensões:
I_1 = \sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz},
I_2 = \sigma_{xx}\,\sigma_{yy}+\sigma_{yy}\,\sigma_{zz}+\sigma_{zz}\,\sigma_{xx} -\tau_{xy}^2-\tau_{yz}^2-\tau_{zx}^2,
I_3 = \det\!\begin{pmatrix} \sigma_{xx}&\tau_{xy}&\tau_{zx}\\\ \tau_{xy}&\sigma_{yy}&\tau_{yz}\\\ \tau_{zx}&\tau_{yz}&\sigma_{zz} \end{pmatrix}.

Passo 5

As três tensões principais são as raízes da equação característica
\sigma^3 - I_1\,\sigma^2 + I_2\,\sigma - I_3 = 0.
Dessas raízes a maior é
\sigma_1 = \frac{I_1}{3} + \frac{2}{3}\,\sqrt{\,I_1^2-3\,I_2\,}\, \cos\!\Bigl(\tfrac{1}{3}\operatorname{arccos}\!\tfrac{2\,I_1^3-9\,I_1\,I_2+27\,I_3} {2\,(I_1^2-3\,I_2)^{3/2}}\Bigr).
Portanto, no critério de Rankine a tensão efetiva tri-dimensional é
\sigma_{\mathrm{ef}} = \sigma_1,
e compara-se \sigma_1 com \sigma_t (e \sigma_3 com -\sigma_c) para decidir a falha.

Resposta

O principal critério é o de tensão normal máxima (Rankine), que diz que o material frágil falha quando a maior tensão principal \sigma_1 alcança a resistência à tração \sigma_t (ou, simetricamente, a menor \sigma_3 atinge -\sigma_c). Em 3D a tensão efetiva é justamente
\sigma_{\mathrm{ef}} = \sigma_1,
onde \sigma_1 é a maior raiz da equação
\sigma^3 - I_1\,\sigma^2 + I_2\,\sigma - I_3 = 0
calculada pelos invariantes I_1,I_2,I_3 do tensor de tensões.

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