Três barras circulares de diâmetro igual a 1,25 in cada são constituídas de aço SAE 1030 laminado a quente, mas possuem diferentes comprimentos: 5 in, 30 in e 60 in, respectivamente. Todas estão carregadas axialmente sob compressão. Compare a capacidade de suportar carga à flambagem das três barras se uma de suas extremidades está livre e a outra está engastada. Siga a recomendação da AISC.
Dados: A tensão de escoamento à compressão do SAE 1030 é igual a 38 ksi ; O módulo de elasticidade do SAE 1030 é igual a 30 \times 10^{6} \mathrm{psi}.
(Resposta: 44944 lbf; 8940 lbf; 2235 lbf;)

Passo 1

O enunciado trata de flambagem de colunas circulares de diâmetro d=1{,}25 in, feitas de aço SAE 1030 ( E=30\times10^{6},psi, F_y=38,ksi), carregadas axialmente em compressão, com uma extremidade engastada e outra livre. Segundo a recomendação da AISC, devemos:
1) calcular a esbeltez \lambda = \frac{K\,L}{r} com K=2;
2) comparar \lambda com o valor crítico \lambda_p para decidir entre a fórmula de Johnson (inelástico) ou de Euler (elástico);
3) obter a tensão crítica F_{cr} e daí a carga crítica P_{cr}=F_{cr}\,A.

Passo 2

Seção circular de diâmetro d=1{,}25 in:
A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi\,(1{,}25)^2}{4} = 1{,}227\text{ in}^2
I = \frac{\pi d^4}{64} = \frac{\pi\,(1{,}25)^4}{64} = 0{,}120\text{ in}^4
r = \sqrt{\frac{I}{A}} = \frac{d}{4} = 0{,}3125\text{ in}.

Passo 3

Para cada barra de comprimento L, K=2\ou L_e = K\,L e esbeltez
\lambda = \frac{K\,L}{r} = \frac{2\,L}{0{,}3125} = 6{,}4\,L.
Assim:
– Para L=5 in, \lambda=6{,}4\times5=32.
– Para L=30 in, \lambda=6{,}4\times30=192.
– Para L=60 in, \lambda=6{,}4\times60=384.

Passo 4

O valor crítico de esbeltez segundo AISC é
\lambda_p = \sqrt{\frac{2\pi^2 E}{F_y}} = \sqrt{\frac{2\pi^2\times30\times10^6}{38\times10^3}} \approx124{,}8.
Comparando:
\lambda=32<\lambda_p \to regime inelástico \to fórmula de Johnson.
\lambda=192> \lambda_p e \lambda=384> \lambda_p \to regime elástico \to fórmula de Euler.

Passo 5

Barra de L=5 in (Johnson):
F_{cr} =F_y\Biggl[1 - \frac{F_y}{4\pi^2E}\,\lambda^2\Biggr] =38{,}000\Bigl[1 - \frac{38{,}000}{4\pi^2\,(30\times10^6)}\,(32)^2\Bigr]\text{ psi} \approx36{,}75\text{ ksi}.
Logo
P_{cr}=F_{cr}\,A =36{,}75\times10^3\;\text{psi}\times1{,}227\;\text{in}^2 \approx44{,}944\;\text{lbf}.

Passo 6

Barras de L=30 in e L=60 in (Euler):
F_{cr} =\frac{\pi^2 E}{\lambda^2} =\frac{\pi^2\times30\times10^6}{(192)^2} \approx8{,}032\;\text{psi}, \quad F_{cr} =\frac{\pi^2\times30\times10^6}{(384)^2} \approx2{,}008\;\text{psi}.
Calculando as cargas:
P_{cr,30} =8{,}032\;\text{psi}\times1{,}227\;\text{in}^2 \approx8{,}940\;\text{lbf}, \qquad P_{cr,60} =2{,}008\;\text{psi}\times1{,}227\;\text{in}^2 \approx2{,}235\;\text{lbf}.

Resposta

44944 lbf; 8940 lbf; 2235 lbf.

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