Escreva as equações das circunferências, esboçando seus gráficos. Obtenha todos os seus elementos (centro, raio).
Passa pelos pontos (1,-2),(1,1),(2,3).

Passo 1

O enunciado pede a equação da circunferência que passa pelos pontos (1,-2), (1,1) e (2,3), além de determinar o centro e o raio. Vamos usar geometria analítica: montar as mediatrizes de dois segmentos formados por esses pontos, encontrar sua interseção (centro) e depois calcular o raio pela distância do centro a um dos pontos.

Passo 2

Considere os pontos A=(1,-2) e B=(1,1). O segmento AB é vertical (mesmo x), então sua mediatriz é a reta horizontal que passa pelo ponto médio de AB.
Ponto médio de AB:
M_{AB}=\bigl(\tfrac{1+1}{2},\,\tfrac{-2+1}{2}\bigr)=(1,\,-0{,}5).
Logo, mediatriz de AB é
y=-0{,}5.

Passo 3

Agora use o segmento AC com C=(2,3).
Ponto médio de AC:
M_{AC}=\bigl(\tfrac{1+2}{2},\,\tfrac{-2+3}{2}\bigr)=(1{,}5,\,0{,}5).
A inclinação de AC é
m_{AC}=\frac{3-(-2)}{2-1}=5,
portanto a mediatriz de AC terá inclinação -\tfrac{1}{5} e passa por M_{AC}. Sua equação em forma ponto-inclinação é
y-0{,}5=-\tfrac{1}{5}\bigl(x-1{,}5\bigr).

Passo 4

O centro O=(x_0,y_0) é a interseção de
y=-0{,}5 \quad\text{e}\quad y-0{,}5=-\tfrac{1}{5}(x-1{,}5).
Substituindo y=-0{,}5 na segunda:
-0{,}5-0{,}5=-1=\,-\tfrac{1}{5}(x-1{,}5) \;\Longrightarrow\; x-1{,}5=5\;\Longrightarrow\;x=-3{,}5.
Logo
O=\bigl(-3{,}5,\,-0{,}5\bigr).

Passo 5

O raio r é a distância de O a A=(1,-2):
r=\sqrt{(1-(-3{,}5))^2+(-2-(-0{,}5))^2} =\sqrt{(4{,}5)^2+(-1{,}5)^2} =\sqrt{20{,}25+2{,}25} =\sqrt{22{,}5} =\frac{3\sqrt{10}}{2}.

Passo 6

A equação central da circunferência com centro O=(x_0,y_0) e raio r é
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2.
Substituindo x_0=-3{,}5, y_0=-0{,}5 e r^2=22{,}5, obtemos
(x+3{,}5)^2+(y+0{,}5)^2=22{,}5.
Em forma geral (expandida):
x^2+y^2+7x+y-10=0.

Resposta

Equação central:
(x+3{,}5)^2+(y+0{,}5)^2=22{,}5.
Equação geral:
x^2+y^2+7x+y-10=0.
Centro: \bigl(-\tfrac{7}{2},-\tfrac{1}{2}\bigr).
Raio: \displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{2}.
Esboço: círculo centrado em (-3{,}5,-0{,}5) com raio \tfrac{3\sqrt{10}}{2}, passando pelos três pontos dados.

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