Escreva as equações de Lagrange em coordenadas cartesianas para uma partícula movendo-se em um campo de força conservativo em duas dimensões e mostre que elas implicam a segunda lei de Newton.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) escrever as equações de Lagrange em coordenadas cartesianas para uma partícula de massa m movendo-se no plano, sujeita a um campo de forças conservativo descrito por um potencial escalar V(x,y); (ii) mostrar que essas equações implicam a segunda lei de Newton.
Informações dadas e variáveis importantes: x e y são as coordenadas cartesianas da partícula; \dot{x} e \dot{y} são as velocidades; \ddot{x} e \ddot{y} são as acelerações; a energia potencial é V(x,y) (função só de posição) e a massa é m. A força é conservativa, portanto derivada de V.

Passo 2

Definições físicas que vamos usar (explico devagar): a energia cinética T de uma partícula de massa m em duas dimensões, em coordenadas cartesianas, é a soma das energias cinéticas nas direções x e y. Isso dá
T=\tfrac{1}{2}m\big(\dot{x}^2+\dot{y}^2\big).
A energia potencial é dada pela função V(x,y). A Lagrangiana L é definida como a diferença entre energia cinética e energia potencial:
L=T-V=\tfrac{1}{2}m\big(\dot{x}^2+\dot{y}^2\big)-V(x,y).
Observação sobre notação: \partial indica derivada parcial (seguramos as outras variáveis fixas), e \dot{} indica derivada no tempo.

Passo 3

Fórmula central: as equações de Euler–Lagrange para um coordenada generalizada q são
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0.
Interpretação didática: \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} mede como o Lagrangiano muda se alteramos a velocidade \dot{q} (mantendo posições fixas); aplicamos então derivada temporal a isso; \frac{\partial L}{\partial q} mede como L muda se alteramos a posição q. A equação equilibra essas variações e fornece a equação de movimento.

Passo 4

Aplicando a fórmula à coordenada x. Primeiro calculamos \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}. Como L=\tfrac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-V(x,y), ao derivar parcialmente em relação a \dot{x} tratamos x,\dot{y},y como constantes, então
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}.
Agora derivamos no tempo:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)=\frac{d}{dt}\big(m\dot{x}\big)=m\ddot{x},
pois m é constante. Em seguida calculamos \frac{\partial L}{\partial x}. Note que a parte cinética T não depende explicitamente de x, então sua derivada parcial em relação a x é zero; apenas V(x,y) contribui:
\frac{\partial L}{\partial x}=-\frac{\partial V}{\partial x}.
Agora colocamos tudo na equação de Euler–Lagrange para x:
m\ddot{x}-\big(-\frac{\partial V}{\partial x}\big)=0 \quad\Longrightarrow\quad m\ddot{x}+\frac{\partial V}{\partial x}=0.
Reorganizando:
m\ddot{x}=-\frac{\partial V}{\partial x}.

Passo 5

Faço o mesmo para y. Calculamos \frac{\partial L}{\partial \dot{y}}=m\dot{y} e, derivando no tempo,
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right)=m\ddot{y}.
A derivada parcial em relação a y é \frac{\partial L}{\partial y}=-\frac{\partial V}{\partial y}. Substituindo na equação de Euler–Lagrange para y obtemos
m\ddot{y}+\frac{\partial V}{\partial y}=0,
ou equivalentemente
m\ddot{y}=-\frac{\partial V}{\partial y}.

Passo 6

Interpretação das quantidades do lado direito: para um campo de força conservativo definido por V(x,y), a força \mathbf{F} é o negativo do gradiente de V. Em componentes cartesianas:
F_x=-\frac{\partial V}{\partial x},\qquad F_y=-\frac{\partial V}{\partial y}.
Explicando o porquê (curto e intuitivo): o trabalho realizado pela força ao deslocar a partícula é dado por variação negativa da energia potencial; matematicamente isso se traduz em \mathbf{F}=-\nabla V.

Passo 7

Substituindo essa identificação nas equações obtidas nos passos anteriores, temos
m\ddot{x}=F_x,\qquad m\ddot{y}=F_y.
Escrevendo em forma vetorial, com \mathbf{r}=(x,y) e \ddot{\mathbf r}=(\ddot{x},\ddot{y}), obtemos
m\ddot{\mathbf r}=\mathbf{F}.
Esta é exatamente a segunda lei de Newton: massa vezes aceleração igual a força resultante.

Passo 8

Resumo didático do fluxo lógico (para lembrar na prova): definimos L=T-V; aplicamos Euler–Lagrange para x e y; como T depende só de \dot{x},\dot{y} e V só de x,y, as derivadas parciais ficam simples e resultam em m\ddot{x}=-\partial V/\partial x e m\ddot{y}=-\partial V/\partial y; reconhecemos as componentes da força conservativa e obtemos m\ddot{\mathbf r}=\mathbf{F}. Pronto — Lagrange ⇒ Newton em cartesiano. Vai dar certo na prova — respira aí, você consegue!

Resposta

m\ddot{x}=-\frac{\partial V}{\partial x}
m\ddot{y}=-\frac{\partial V}{\partial y}
m\ddot{\mathbf r}=\mathbf{F}=-\nabla V

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