Escreva as equações de Lagrange em coordenadas cartesianas para uma partícula movendo-se em um campo de força conservativo em duas dimensões e mostre que elas implicam a segunda lei de Newton.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) escrever as equações de Lagrange em coordenadas cartesianas para uma partícula de massa
movendo-se no plano, sujeita a um campo de forças conservativo descrito por um potencial escalar
; (ii) mostrar que essas equações implicam a segunda lei de Newton.
Informações dadas e variáveis importantes: e
são as coordenadas cartesianas da partícula;
e
são as velocidades;
e
são as acelerações; a energia potencial é
(função só de posição) e a massa é
. A força é conservativa, portanto derivada de
.
Informações dadas e variáveis importantes:
Passo 2
Definições físicas que vamos usar (explico devagar): a energia cinética
de uma partícula de massa
em duas dimensões, em coordenadas cartesianas, é a soma das energias cinéticas nas direções
e
. Isso dá
A energia potencial é dada pela função
. A Lagrangiana
é definida como a diferença entre energia cinética e energia potencial:
Observação sobre notação:
indica derivada parcial (seguramos as outras variáveis fixas), e
indica derivada no tempo.
Passo 3
Fórmula central: as equações de Euler–Lagrange para um coordenada generalizada
são
Interpretação didática:
mede como o Lagrangiano muda se alteramos a velocidade
(mantendo posições fixas); aplicamos então derivada temporal a isso;
mede como
muda se alteramos a posição
. A equação equilibra essas variações e fornece a equação de movimento.
Passo 4
Aplicando a fórmula à coordenada
. Primeiro calculamos
. Como
, ao derivar parcialmente em relação a
tratamos
como constantes, então
Agora derivamos no tempo:
pois
é constante. Em seguida calculamos
. Note que a parte cinética
não depende explicitamente de
, então sua derivada parcial em relação a
é zero; apenas
contribui:
Agora colocamos tudo na equação de Euler–Lagrange para
:
Reorganizando:
Passo 5
Faço o mesmo para
. Calculamos
e, derivando no tempo,
A derivada parcial em relação a
é
. Substituindo na equação de Euler–Lagrange para
obtemos
ou equivalentemente
Passo 6
Interpretação das quantidades do lado direito: para um campo de força conservativo definido por
, a força
é o negativo do gradiente de
. Em componentes cartesianas:
Explicando o porquê (curto e intuitivo): o trabalho realizado pela força ao deslocar a partícula é dado por variação negativa da energia potencial; matematicamente isso se traduz em
.
Passo 7
Substituindo essa identificação nas equações obtidas nos passos anteriores, temos
Escrevendo em forma vetorial, com
e
, obtemos
Esta é exatamente a segunda lei de Newton: massa vezes aceleração igual a força resultante.
Passo 8
Resumo didático do fluxo lógico (para lembrar na prova): definimos
; aplicamos Euler–Lagrange para
e
; como
depende só de
e
só de
, as derivadas parciais ficam simples e resultam em
e
; reconhecemos as componentes da força conservativa e obtemos
. Pronto — Lagrange ⇒ Newton em cartesiano. Vai dar certo na prova — respira aí, você consegue!