Encontre as equações de Lagrange para uma partícula movendo-se em duas dimensões, utilizando coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as equações de Lagrange para uma partícula movendo-se em duas dimensões usando coordenadas polares.
Informações dadas (ou que assumimos, pois são padrão nesse problema):
Informações dadas (ou que assumimos, pois são padrão nesse problema):
- A partícula tem massa
(constante). - Usamos coordenadas polares
. - Há uma energia potencial geral
(não fazemos nenhuma suposição extra sobre ela a priori). - Queremos as equações de Euler–Lagrange (ou “equações de Lagrange”) para as coordenadas generalizadas
e .
Passo 2
Primeiro vamos escrever posição e velocidade em polares e explicar por que a cinemática fica do jeito que fica. A posição em coordenadas cartesianas é
onde
é o versor radial. Em componentes (para entender) temos
Esses versores dependem de
, então suas derivadas temporais são
Agora derivamos a posição para obter a velocidade:
Isso é importante: a velocidade tem uma parte radial
e uma parte tangencial
.
Passo 3
Calcular a energia cinética
. Como
e
são ortogonais e de norma 1, temos
portanto
Aqui
é a velocidade radial e
é a velocidade tangencial.
Passo 4
Escrevemos a lagrangiana, que é a diferença entre energia cinética e potencial:
Essa é a função cuja variação leva às equações de movimento via as equações de Euler–Lagrange.
Passo 5
Aplicamos a equação de Euler–Lagrange para a coordenada radial
:
Calculemos termo a termo:
logo
Agora a derivada parcial em relação a
:
Substituindo em Euler–Lagrange:
Reorganizando:
Passo 6
Interpretação física rápida (útil para prova): o termo
é a força centrífuga (no sinal da equação aparece como termo geométrico que age radialmente para fora), e o lado direito
é a força radial real derivada do potencial. A equação diz que massa vezes aceleração radial efetiva
é igual à força radial.
Passo 7
Agora aplicamos Euler–Lagrange para a coordenada angular
:
Calculemos:
logo
E
Substituindo em Euler–Lagrange:
ou, de modo mais compacto (e fisicamente significativo),
Expandida,
Passo 8
Observações úteis para prova (casos especiais):
- Se o potencial for central, isto é
(não depende de ), então e a equação angular vira
ou seja,
é constante — conservação do momento angular.
- Substituindo
na equação radial dá a forma com potencial efetivo:
onde
é o momento angular conservado. Isso é frequentemente usado para reduzir o problema a um movimento unidimensional em
.