Encontre as equações de Lagrange para uma partícula movendo-se em duas dimensões, utilizando coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as equações de Lagrange para uma partícula movendo-se em duas dimensões usando coordenadas polares.
Informações dadas (ou que assumimos, pois são padrão nesse problema):
  • A partícula tem massa \,m (constante).
  • Usamos coordenadas polares \,(r,\theta).
  • Há uma energia potencial geral \,V(r,\theta) (não fazemos nenhuma suposição extra sobre ela a priori).
  • Queremos as equações de Euler–Lagrange (ou “equações de Lagrange”) para as coordenadas generalizadas \,q_1=r e \,q_2=\theta.

Passo 2

Primeiro vamos escrever posição e velocidade em polares e explicar por que a cinemática fica do jeito que fica. A posição em coordenadas cartesianas é
\vec{r}=r\,\hat{e}_r,
onde \,\hat{e}_r é o versor radial. Em componentes (para entender) temos
\hat{e}_r=(\cos\theta,\sin\theta),\qquad \hat{e}_\theta=(-\sin\theta,\cos\theta).
Esses versores dependem de \theta, então suas derivadas temporais são
\dot{\hat{e}}_r=\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta,\qquad \dot{\hat{e}}_\theta=-\dot{\theta}\,\hat{e}_r.
Agora derivamos a posição para obter a velocidade:
\dot{\vec{r}}=\dot{r}\,\hat{e}_r + r\,\dot{\hat{e}}_r=\dot{r}\,\hat{e}_r + r\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta.
Isso é importante: a velocidade tem uma parte radial \dot{r} e uma parte tangencial r\dot{\theta}.

Passo 3

Calcular a energia cinética \,T=\tfrac{1}{2}m\|\dot{\vec{r}}\|^2. Como \hat{e}_r e \hat{e}_\theta são ortogonais e de norma 1, temos
\|\dot{\vec{r}}\|^2=(\dot{r})^2 + (r\dot{\theta})^2,
portanto
T=\tfrac{1}{2}m\big(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2\big).
Aqui \dot{r} é a velocidade radial e r\dot{\theta} é a velocidade tangencial.

Passo 4

Escrevemos a lagrangiana, que é a diferença entre energia cinética e potencial:
\mathcal{L}(r,\theta,\dot{r},\dot{\theta}) = T - V = \tfrac{1}{2}m\big(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2\big) - V(r,\theta).
Essa é a função cuja variação leva às equações de movimento via as equações de Euler–Lagrange.

Passo 5

Aplicamos a equação de Euler–Lagrange para a coordenada radial \,r:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{r}}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial r}=0.
Calculemos termo a termo:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{r}}=m\dot{r},
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\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{r}}\right)=m\ddot{r}.
Agora a derivada parcial em relação a r:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial r}=\frac{\partial}{\partial r}\!\left(\tfrac{1}{2}m r^2\dot{\theta}^2\right)-\frac{\partial V}{\partial r}=m r\dot{\theta}^2 - \frac{\partial V}{\partial r}.
Substituindo em Euler–Lagrange:
m\ddot{r} - \big(m r\dot{\theta}^2 - \frac{\partial V}{\partial r}\big)=0.
Reorganizando:
m\big(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2\big) = -\frac{\partial V}{\partial r}.

Passo 6

Interpretação física rápida (útil para prova): o termo -m r\dot{\theta}^2 é a força centrífuga (no sinal da equação aparece como termo geométrico que age radialmente para fora), e o lado direito -\partial V/\partial r é a força radial real derivada do potencial. A equação diz que massa vezes aceleração radial efetiva \ddot{r}-r\dot{\theta}^2 é igual à força radial.

Passo 7

Agora aplicamos Euler–Lagrange para a coordenada angular \,\theta:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta}=0.
Calculemos:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}=m r^2\dot{\theta},
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\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}\right)=\frac{d}{dt}\big(m r^2\dot{\theta}\big)=m(2r\dot{r}\dot{\theta}+r^2\ddot{\theta}).
E
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta}=-\frac{\partial V}{\partial\theta}.
Substituindo em Euler–Lagrange:
m(2r\dot{r}\dot{\theta}+r^2\ddot{\theta}) - \big(-\frac{\partial V}{\partial\theta}\big)=0,
ou, de modo mais compacto (e fisicamente significativo),
\frac{d}{dt}\big(m r^2\dot{\theta}\big) = -\frac{\partial V}{\partial\theta}.
Expandida,
m r^2\ddot{\theta} + 2 m r\dot{r}\dot{\theta} = -\frac{\partial V}{\partial\theta}.

Passo 8

Observações úteis para prova (casos especiais):
  • Se o potencial for central, isto é V=V(r) (não depende de \theta), então \partial V/\partial\theta=0 e a equação angular vira
\frac{d}{dt}\big(m r^2\dot{\theta}\big)=0,
ou seja, m r^2\dot{\theta}=\ell é constante — conservação do momento angular.
  • Substituindo \dot{\theta}=\ell/(m r^2) na equação radial dá a forma com potencial efetivo:
m\ddot{r} = \frac{\ell^2}{m r^3} - \frac{dV}{dr},
onde \ell é o momento angular conservado. Isso é frequentemente usado para reduzir o problema a um movimento unidimensional em r.

Resposta

m\big(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2\big) = -\frac{\partial V}{\partial r}
\frac{d}{dt}\big(m r^2\dot{\theta}\big) = -\frac{\partial V}{\partial\theta}

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