Escreva as equações paramétricas e cartesiana do plano pi descrito abaixo.
pi : passa pelo ponto A=(-1,2,-1) e é perpendicular ao vetor n=[3,2,4];

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas e cartesiana do plano pi que passa por A=(-1,2,-1) e é perpendicular ao vetor normal n=[3,2,4]. O conteúdo é geometria analítica de planos em R^3. Vamos usar a forma normal para a equação cartesiana e escolher dois vetores diretores ortogonais a n para a forma paramétrica.

Passo 2

Para obter a equação cartesiana, usamos a condição de perpendicularidade ncdot(X-A)=0, com X=(x,y,z). Logo,
3(x + 1) + 2(y - 2) + 4(z + 1) = 0
Simplificando os termos:
3x + 2y + 4z + 3 = 0

Passo 3

Para a forma paramétrica, precisamos de dois vetores u e v tais que ncdotu=0 e ncdotv=0. Por exemplo:
u = (2,-3,0), pois
3cdot2 + 2cdot(-3) + 4cdot0 = 0,
e
v = (0,-2,1), pois
3cdot0 + 2cdot(-2) + 4cdot1 = 0

Passo 4

A equação vetorial do plano fica
r = (-1,2,-1) ;+; s,(2,-3,0) ;+; t,(0,-2,1), s,tinR
Isolando as coordenadas, obtemos as equações paramétricas:
x = -1 + 2s,
y = 2 - 3s - 2t,
z = -1 + t

Resposta

Equação cartesiana:
3x + 2y + 4z + 3 = 0
Equações paramétricas:
x = -1 + 2s, y = 2 - 3s - 2t, z = -1 + t, s,tinR

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