Escreva as equações paramétricas e cartesiana do plano pi descrito abaixo.
pi : passa pelos pontos A=(1,1,0), B=(0,1,0) e C=(2,-1,3);

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas e a equação cartesiana do plano pi que passa pelos pontos A=(1,1,0), B=(0,1,0) e C=(2,-1,3). O conteúdo é geometria analítica em R^3: vamos usar vetores diretores no plano e o produto vetorial para obter a normal, e daí montar as equações.

Passo 2

Escolhemos como vetores diretores dois vetores que ligam A a B e A a C:
AB = B - A = (0-1,;1-1,;0-0) = (-1,,0,,0),
AC = C - A = (2-1,;-1-1,;3-0) = (1,,-2,,3)

Passo 3

A equação vetorial ou paramétrica do plano, tomando A como ponto base e parâmetros s,tinR, é
r(s,t) = A + s,AB + t,AC
Em coordenadas,
x = 1 - s + t, y = 1 + 0cdot s - 2,t = 1 - 2t, z = 0 + 0cdot s + 3,t = 3t

Passo 4

Para obter a equação cartesiana, precisamos de um vetor normal n ao plano. Tomamos o produto vetorial
n = AB times AC = i & j & k -1 & 0 & 0 1 & -2 & 3 = (0,,3,,2)

Passo 5

A forma cartesiana do plano usa ncdotl((x,y,z)-Ar)=0. Como A=(1,1,0) e n=(0,3,2), temos
0,(x-1) + 3,(y-1) + 2,(z-0) = 0
ou seja
3y - 3 + 2z = 0 Longrightarrow 3y + 2z - 3 = 0

Resposta

Equações paramétricas:
x = 1 - s + t, y = 1 - 2t, z = 3t, s,tinR
Equação cartesiana:
3y + 2z - 3 = 0

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