A curva descrita por um ponto que se move de modo que sua distância ao ponto
seja o dobro de sua distância à reta
é uma hipérbole de equação
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
Passo 1
O enunciado pede a equação da curva locus dos pontos
tais que a distância de
ao ponto
é o dobro da distância de
à reta
. Informações dadas e o que se pede:
- Ponto fixo:
. - Reta fixa:
. - Condição: distância de
a é o dobro da distância de à reta . - Objetivo: obter a equação algébrica da curva (esperamos uma hipérbole).
Passo 2
Vamos escrever as fórmulas de distância que precisamos, explicando cada símbolo:
- Distância entre
e o ponto vem da fórmula da distância entre dois pontos no plano:
Aqui
e
são as coordenadas do ponto móvel
.
- Distância entre
e a reta vertical é a distância horizontal absoluta entre e :
O valor absoluto aparece porque distância é não negativa e tanto
quanto
são possíveis.
Passo 3
Traduzimos a condição do enunciado em uma equação matemática: a distância ao ponto
é o dobro da distância à reta, ou seja
Agora vamos eliminar a raiz e o valor absoluto. Note que ambos os lados são não negativos, então podemos elevar ao quadrado sem criar soluções extranhas:
Passo 4
Expandimos ambos os lados passo a passo.
Primeiro o lado esquerdo:
Primeiro o lado esquerdo:
Agora o lado direito:
Igualando e levando tudo para o lado direito (ou esquerdo) obtemos
Passo 5
Simplificamos os termos agrupando semelhantes:
Calculemos termo a termo:
Calculemos termo a termo:
- Para
: . - Para
: . - Para
: (vem de subtrair ). - Para
: (pois subtrai-se que vira ). - Constantes:
.
Portanto a equação fica
Passo 6
Interpretando a forma obtida: os coeficientes dos termos quadráticos são
para
e
para
, ou seja, sinais opostos. Isso caracteriza uma hipérbole (porque numa cônica não degenerada, se os coeficientes de
e
têm sinais opostas, a curva é hipérbole). Assim a equação encontrada corresponde ao enunciado.