A curva descrita por um ponto que se move de modo que sua distância ao ponto (-1,3) seja o dobro de sua distância à reta x=3 é uma hipérbole de equação
Escolha uma opção:
\bigcirc 3 x^{2}+y^{2}+26 x+6 y+26=0
\bigcirc x^{2}-3 y^{2}-6 x+26 y+26=0
\bigcirc 3 y^{2}-x^{2}-26 y+6 x+26=0
\bigcirc 3 y^{2}-x^{2}-6 x+26 y+26=0
\bigcirc 3 x^{2}-y^{2}-26 x+6 y+26=0

Passo 1

O enunciado pede a equação da curva locus dos pontos P=(x,y) tais que a distância de P ao ponto A=(-1,3) é o dobro da distância de P à reta x=3. Informações dadas e o que se pede:
  • Ponto fixo: A=(-1,3).
  • Reta fixa: x=3.
  • Condição: distância de P a A é o dobro da distância de P à reta x=3.
  • Objetivo: obter a equação algébrica da curva (esperamos uma hipérbole).

Passo 2

Vamos escrever as fórmulas de distância que precisamos, explicando cada símbolo:
  • Distância entre P=(x,y) e o ponto A=(-1,3) vem da fórmula da distância entre dois pontos no plano:
\text{dist}(P,A)=\sqrt{(x-(-1))^{2}+(y-3)^{2}}=\sqrt{(x+1)^{2}+(y-3)^{2}}.
Aqui x e y são as coordenadas do ponto móvel P.
  • Distância entre P=(x,y) e a reta vertical x=3 é a distância horizontal absoluta entre x e 3:
\text{dist}(P,\text{reta})=|x-3|.
O valor absoluto aparece porque distância é não negativa e tanto x>3 quanto x<3 são possíveis.

Passo 3

Traduzimos a condição do enunciado em uma equação matemática: a distância ao ponto A é o dobro da distância à reta, ou seja
\sqrt{(x+1)^{2}+(y-3)^{2}}=2\,|x-3|.
Agora vamos eliminar a raiz e o valor absoluto. Note que ambos os lados são não negativos, então podemos elevar ao quadrado sem criar soluções extranhas:
(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=4(x-3)^{2}.

Passo 4

Expandimos ambos os lados passo a passo.
Primeiro o lado esquerdo:
(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=x^{2}+2x+1+y^{2}-6y+9=x^{2}+y^{2}+2x-6y+10.
Agora o lado direito:
4(x-3)^{2}=4(x^{2}-6x+9)=4x^{2}-24x+36.
Igualando e levando tudo para o lado direito (ou esquerdo) obtemos
0=4x^{2}-24x+36-\bigl(x^{2}+y^{2}+2x-6y+10\bigr).

Passo 5

Simplificamos os termos agrupando semelhantes:
Calculemos termo a termo:
  • Para x^{2}: 4x^{2}-x^{2}=3x^{2}.
  • Para x: -24x-2x=-26x.
  • Para y^{2}: -y^{2} (vem de subtrair y^{2}).
  • Para y: +6y (pois subtrai-se -6y que vira +6y).
  • Constantes: 36-10=26.
Portanto a equação fica
3x^{2}-y^{2}-26x+6y+26=0.

Passo 6

Interpretando a forma obtida: os coeficientes dos termos quadráticos são 3 para x^{2} e -1 para y^{2}, ou seja, sinais opostos. Isso caracteriza uma hipérbole (porque numa cônica não degenerada, se os coeficientes de x^{2} e y^{2} têm sinais opostas, a curva é hipérbole). Assim a equação encontrada corresponde ao enunciado.

Resposta

3x^{2}-y^{2}-26x+6y+26=0

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