Escreva as equações das seguintes elipses:
Os focos são F_{1}=(-1,-1) e F_{2}=(1,1) e satisfaz dist \left(P, F_{1}\right)+\operatorname{dist}\left(P, F_{2}\right)=4.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Os focos são F_{1}=(-1,-1) e F_{2}=(1,1).
  • A condição para qualquer ponto P=(x,y) da curva é \operatorname{dist}(P,F_{1})+\operatorname{dist}(P,F_{2})=4.
O que se pede:
  • Escrever a(s) equação(ões) da(s) elipse(s) definida(s) por esses dados (forma canônica/rotacionada e forma em x,y se possível).

Passo 2

Lembrando a definição prática de elipse: a soma das distâncias aos focos é igual a 2a, onde a é o semi-eixo maior. Aqui a soma dada é 4, portanto
2a = 4 \quad\Rightarrow\quad a = 2.
Também identificamos o centro da elipse como o ponto médio entre os focos. O ponto médio de F_{1} e F_{2} é
\left(\frac{-1+1}{2},\frac{-1+1}{2}\right) = (0,0),
ou seja, o centro é a origem.

Passo 3

O parâmetro c (distância do centro a cada foco) é a metade da distância entre os focos. Calculamos a distância entre F_{1} e F_{2}:
\text{dist}(F_{1},F_{2})=\sqrt{(1-(-1))^{2}+(1-(-1))^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Logo
c=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.
Para elipses vale a relação \,c^{2}=a^{2}-b^{2}\,. Assim podemos achar b:
b^{2}=a^{2}-c^{2}=4-(\sqrt{2})^{2}=4-2=2,
ou seja b=\sqrt{2}.

Passo 4

Observação geométrica importante: os focos estão sobre a reta y=x, portanto o eixo maior da elipse está alinhado com essa reta (ou seja, a elipse está rotacionada 45^\circ em relação aos eixos x,y). Para escrever a equação de forma simples, é conveniente mudar para coordenadas rotacionadas (u,v) tais que:
  • u é a coordenada ao longo da direção (1,1) (reta y=x),
  • v é a coordenada ao longo da direção (1,-1) (reta perpendicular).
Escolhemos unidades para que (u,v) sejam coordenadas ortonormais:
u=\frac{x+y}{\sqrt{2}},\qquad v=\frac{x-y}{\sqrt{2}}.
Essas fórmulas vêm de projetar o vetor (x,y) nas direções unitárias (1,1)/\sqrt{2} e (1,-1)/\sqrt{2}.

Passo 5

Na coordenada (u,v) (centro na origem e eixos alinhados com os semi-eixos da elipse), a equação canônica da elipse é
\frac{u^{2}}{a^{2}}+\frac{v^{2}}{b^{2}}=1.
Substituindo a^{2}=4 e b^{2}=2 obtemos
\frac{u^{2}}{4}+\frac{v^{2}}{2}=1.

Passo 6

Agora vamos voltar para as variáveis x,y. Primeiro calculamos u^{2} e v^{2} em função de x,y:
u^{2}=\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{(x+y)^{2}}{2},\qquad v^{2}=\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{(x-y)^{2}}{2}.
Substituindo em \dfrac{u^{2}}{4}+\dfrac{v^{2}}{2}=1 obtemos
\frac{1}{4}\cdot\frac{(x+y)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{(x-y)^{2}}{2}=1.
Simplificando os denominadores:
\frac{(x+y)^{2}}{8}+\frac{(x-y)^{2}}{4}=1.

Passo 7

Para obter uma forma polinomial expandida, multiplicamos ambos os lados por 8:
(x+y)^{2}+2(x-y)^{2}=8.
Expandindo cada termo:
(x^{2}+2xy+y^{2})+2(x^{2}-2xy+y^{2})=8.
Somando termos semelhantes:
x^{2}+2xy+y^{2}+2x^{2}-4xy+2y^{2}=8
(1+2)x^{2}+(2-4)xy+(1+2)y^{2}=8
3x^{2}-2xy+3y^{2}=8.

Passo 8

Também é interessante ter a forma paramétrica (útil para traçar a elipse): em (u,v) tem-se u=a\cos t, v=b\sin t. Como x e y em função de u,v são
x=\frac{u+v}{\sqrt{2}},\qquad y=\frac{u-v}{\sqrt{2}},
a parametrização fica
x(t)=\sqrt{2}\cos t+\sin t,\qquad y(t)=\sqrt{2}\cos t-\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).

Resposta

\frac{(x+y)^{2}}{8}+\frac{(x-y)^{2}}{4}=1
3x^{2}-2xy+3y^{2}=8

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