Escreva as equações das seguintes elipses:
Os focos são
e
e satisfaz dist
.
Os focos são
Passo 1
O enunciado dá:
- Os focos são
e . - A condição para qualquer ponto
da curva é .
O que se pede:
- Escrever a(s) equação(ões) da(s) elipse(s) definida(s) por esses dados (forma canônica/rotacionada e forma em
se possível).
Passo 2
Lembrando a definição prática de elipse: a soma das distâncias aos focos é igual a
, onde
é o semi-eixo maior. Aqui a soma dada é
, portanto
Também identificamos o centro da elipse como o ponto médio entre os focos. O ponto médio de
e
é
ou seja, o centro é a origem.
Passo 3
O parâmetro
(distância do centro a cada foco) é a metade da distância entre os focos. Calculamos a distância entre
e
:
Logo
Para elipses vale a relação
. Assim podemos achar
:
ou seja
.
Passo 4
Observação geométrica importante: os focos estão sobre a reta
, portanto o eixo maior da elipse está alinhado com essa reta (ou seja, a elipse está rotacionada
em relação aos eixos
). Para escrever a equação de forma simples, é conveniente mudar para coordenadas rotacionadas
tais que:
-
é a coordenada ao longo da direção (reta ), -
é a coordenada ao longo da direção (reta perpendicular).
Escolhemos unidades para que
sejam coordenadas ortonormais:
Essas fórmulas vêm de projetar o vetor
nas direções unitárias
e
.
Passo 5
Na coordenada
(centro na origem e eixos alinhados com os semi-eixos da elipse), a equação canônica da elipse é
Substituindo
e
obtemos
Passo 6
Agora vamos voltar para as variáveis
. Primeiro calculamos
e
em função de
:
Substituindo em
obtemos
Simplificando os denominadores:
Passo 7
Para obter uma forma polinomial expandida, multiplicamos ambos os lados por
:
Expandindo cada termo:
Somando termos semelhantes:
Passo 8
Também é interessante ter a forma paramétrica (útil para traçar a elipse): em
tem-se
,
. Como
e
em função de
são
a parametrização fica