Escreva explicitamente cada soma e, a seguir, ache seu valor numérico.
\sum_{k=2}^{6} \frac{1}{k(k-1)}

Passo 1

O enunciado pede para escrever explicitamente cada soma e, a seguir, achar seu valor numérico da soma
\sum_{k=2}^{6} \frac{1}{k(k-1)}.
Informações dadas:
  • O somatório vai de k=2 até k=6.
  • O termo geral é \dfrac{1}{k(k-1)}.
  • A tarefa é escrever cada termo do somatório (ou seja, expandir a soma) e calcular o valor numérico final.

Passo 2

Vamos transformar o termo geral \dfrac{1}{k(k-1)} numa forma que facilite a soma. Uma técnica padrão é decompor em frações parciais da forma
\frac{1}{k(k-1)}=\frac{A}{k-1}+\frac{B}{k}.
Aqui A e B são constantes que vamos determinar. A ideia é reescrever a fração como soma de frações mais simples para que a soma telescope (termos se cancelem).

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por k(k-1) para eliminar denominadores:
1 = A k + B(k-1).
Expandindo o lado direito:
1 = (A+B)k - B.
Como isso deve valer para todo k, igualamos coeficientes: o coeficiente de k deve ser zero e o termo constante deve ser 1. Assim
A+B=0\quad\text{e}\quad -B=1.
Da segunda equação temos B=-1. Substituindo em A+B=0 obtemos A=1.

Passo 4

Com A=1 e B=-1 temos a identidade
\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}.
Esta é a forma telescópica: cada termo é diferença de duas frações que vão se cancelar quando somarmos vários termos consecutivos.

Passo 5

Agora escrevemos explicitamente cada termo do somatório usando a identidade encontrada. Para cada k de 2 a 6:
\begin{aligned} k=2:&\quad \frac{1}{2(1)}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2},\\\ k=3:&\quad \frac{1}{3(2)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\\\ k=4:&\quad \frac{1}{4(3)}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4},\\\ k=5:&\quad \frac{1}{5(4)}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5},\\\ k=6:&\quad \frac{1}{6(5)}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}. \end{aligned}

Passo 6

Somando todos os termos do passo anterior (a soma telescópica), escrevemos
\sum_{k=2}^{6}\frac{1}{k(k-1)}= \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right) +\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) +\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) +\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right) +\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right).
Agora observamos o cancelamento entre termos consecutivos: -\frac{1}{2} cancela com +\frac{1}{2}, -\frac{1}{3} com +\frac{1}{3}, e assim por diante.

Passo 7

Depois dos cancelamentos só sobram os primeiros termos positivos e o último negativo:
\sum_{k=2}^{6}\frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{1} - \frac{1}{6}.
Calculando numericamente,
\frac{1}{1}-\frac{1}{6}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.

Resposta

\dfrac{5}{6}

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