Escreva explicitamente cada soma e, a seguir, ache seu valor numérico.
Passo 1
O enunciado pede para escrever explicitamente cada soma e, a seguir, achar seu valor numérico da soma
Informações dadas:
- O somatório vai de
até . - O termo geral é
. - A tarefa é escrever cada termo do somatório (ou seja, expandir a soma) e calcular o valor numérico final.
Passo 2
Vamos transformar o termo geral
numa forma que facilite a soma. Uma técnica padrão é decompor em frações parciais da forma
Aqui
e
são constantes que vamos determinar. A ideia é reescrever a fração como soma de frações mais simples para que a soma telescope (termos se cancelem).
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Expandindo o lado direito:
Como isso deve valer para todo
, igualamos coeficientes: o coeficiente de
deve ser zero e o termo constante deve ser
. Assim
Da segunda equação temos
. Substituindo em
obtemos
.
Passo 4
Com
e
temos a identidade
Esta é a forma telescópica: cada termo é diferença de duas frações que vão se cancelar quando somarmos vários termos consecutivos.
Passo 5
Agora escrevemos explicitamente cada termo do somatório usando a identidade encontrada. Para cada
de
a
:
Passo 6
Somando todos os termos do passo anterior (a soma telescópica), escrevemos
Agora observamos o cancelamento entre termos consecutivos:
cancela com
,
com
, e assim por diante.
Passo 7
Depois dos cancelamentos só sobram os primeiros termos positivos e o último negativo:
Calculando numericamente,