Escreva explicitamente cada soma e, a seguir, ache seu valor numérico.
\sum_{k=1}^{5} 7 k^{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva explicitamente cada soma e, em seguida, ache seu valor numérico para a soma
\sum_{k=1}^{5} 7k^{2}.
Informações dadas:
  • O índice k varia de 1 até 5.
  • O termo geral é 7k^{2}.
  • Preciso primeiro escrever cada termo somado (isto é, expandir a soma) e depois calcular o valor numérico final.

Passo 2

Escrever explicitamente cada termo da soma significa substituir k por 1,2,3,4,5 e escrever os cinco termos somados. Assim:
\sum_{k=1}^{5} 7k^{2} = 7\cdot 1^{2} + 7\cdot 2^{2} + 7\cdot 3^{2} + 7\cdot 4^{2} + 7\cdot 5^{2}.

Passo 3

Antes de calcular cada produto, lembramos de uma propriedade simples de somas: um fator constante pode ser puxado para fora da soma. Ou seja,
\sum_{k=1}^{5} 7k^{2} = 7\sum_{k=1}^{5} k^{2}.
Isto facilita porque agora basta calcular \sum_{k=1}^{5} k^{2} e multiplicar por 7.

Passo 4

Calculo direto dos quadrados para conferir:
1^{2}=1,\quad 2^{2}=4,\quad 3^{2}=9,\quad 4^{2}=16,\quad 5^{2}=25.
Somando esses valores:
\sum_{k=1}^{5} k^{2} = 1+4+9+16+25.

Passo 5

Faço a soma passo a passo, bem mastigado:
1+4=5,
5+9=14,
14+16=30,
30+25=55.
Portanto
\sum_{k=1}^{5} k^{2}=55.

Passo 6

Agora volto ao fator 7 que havia puxado para fora:
\sum_{k=1}^{5} 7k^{2} = 7\cdot \sum_{k=1}^{5} k^{2} = 7\cdot 55.
Calculo 7\cdot 55 de forma simples: 7\cdot 50=350 e 7\cdot 5=35, então 350+35=385.

Passo 7

Verificação alternativa (somando os termos expandos do Passo 2):
7\cdot 1^{2}=7,\quad 7\cdot 2^{2}=28,\quad 7\cdot 3^{2}=63,\quad 7\cdot 4^{2}=112,\quad 7\cdot 5^{2}=175.
Somando: 7+28=35, 35+63=98, 98+112=210, 210+175=385. Confere com o resultado anterior.

Resposta

385

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