Escreva explicitamente cada soma e, a seguir, ache seu valor numérico.
\sum_{k=1}^{6}(2 k+1)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) “Escreva explicitamente cada soma” — isto é, expandir a notação somatória e listar todos os termos; (2) “ache seu valor numérico” — calcular o resultado final dessa soma.
A informação dada é a soma
\sum_{k=1}^{6}(2k+1).

Passo 2

Primeiro vamos escrever explicitamente cada termo da soma, substituindo k por 1,2,\dots,6. Assim,
\sum_{k=1}^{6}(2k+1)=(2\cdot 1+1)+(2\cdot 2+1)+(2\cdot 3+1)+(2\cdot 4+1)+(2\cdot 5+1)+(2\cdot 6+1).

Passo 3

Agora calculamos cada um desses parênteses, um por um, para ver os termos concretos:
2\cdot 1+1=3,\quad 2\cdot 2+1=5,\quad 2\cdot 3+1=7,
2\cdot 4+1=9,\quad 2\cdot 5+1=11,\quad 2\cdot 6+1=13.
Portanto a soma fica
3+5+7+9+11+13.

Passo 4

Agora somamos esses termos. Uma técnica prática é emparelhar o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, etc., porque aqui os pares somam o mesmo valor:
3+13=16,\quad 5+11=16,\quad 7+9=16.
Temos 3 pares cada um valendo 16, então a soma total é 16\cdot 3. Calculando,
16\cdot 3 = 48.

Passo 5

Como verificação e para você ter outra ferramenta na prova: os termos 3,5,7,9,11,13 formam uma progressão aritmética com primeiro termo a_1=3, último termo a_6=13 e número de termos n=6. A fórmula da soma de uma progressão aritmética é
S_n = n\cdot\frac{a_1+a_n}{2}.
Aplicando aqui,
S_6 = 6\cdot\frac{3+13}{2}=6\cdot\frac{16}{2}=6\cdot 8=48,
confirmando o resultado.

Passo 6

Outra verificação usando propriedades de somas (linearidade): podemos separar a soma
\sum_{k=1}^{6}(2k+1)=2\sum_{k=1}^{6}k+\sum_{k=1}^{6}1.
Sabemos que \sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}. Para n=6 temos \sum_{k=1}^{6}k=\dfrac{6\cdot7}{2}=21. E \sum_{k=1}^{6}1=6. Então
2\cdot 21 + 6 = 42 + 6 = 48,
mais uma vez o mesmo resultado.

Resposta

48

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