Escreva uma expressão algébrica para \operatorname{tg}\left(\operatorname{cotg}^{-1} x\right).

Passo 1

O que o problema pede: escrever uma expressão algébrica para \operatorname{tg}\!\left(\operatorname{cotg}^{-1} x\right).
Informações dadas: a única coisa explícita é a expressão com a função inversa \operatorname{cotg}^{-1}; assumir que x é um número real. O objetivo final é uma expressão em termos de x.

Passo 2

Definir uma variável ângulo para “desembrulhar” a inversa. Seja \theta=\operatorname{cotg}^{-1} x. Por definição de função inversa, isso significa que
\operatorname{cotg}\theta = x.
Interpretação: \theta é um ângulo cujo cotangente vale x.

Passo 3

Lembrar a relação básica entre tangente e cotangente. A cotangente é o recíproco da tangente, isto é,
\operatorname{cotg}\theta=\frac{1}{\operatorname{tg}\theta},
desde que \operatorname{tg}\theta esteja definida (não seja zero no denominador). Dessa identidade podemos isolar a tangente:
\operatorname{tg}\theta=\frac{1}{\operatorname{cotg}\theta}.
Isso é fácil de visualizar numa trigonometria de triângulo retângulo: \operatorname{tg}\theta=\dfrac{\text{oposto}}{\text{adjacente}} e \operatorname{cotg}\theta=\dfrac{\text{adjacente}}{\text{oposto}}, logo são recíprocas.

Passo 4

Aplicar a relação ao nosso \theta. Como \operatorname{cotg}\theta=x, substituindo na expressão da tangente obtemos
\operatorname{tg}\theta=\frac{1}{x},
desde que x\neq 0 (se x=0 então \operatorname{cotg}\theta=0 e \operatorname{tg}\theta é indefinida). Voltando à notação original,
\operatorname{tg}\!\left(\operatorname{cotg}^{-1} x\right)=\frac{1}{x},\qquad x\neq 0.

Passo 5

Verificações rápidas para ganhar confiança:
  • Se x=1: \operatorname{cotg}^{-1}1=\tfrac{\pi}{4} e \operatorname{tg}\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=1=\dfrac{1}{1}.
  • Se x=-1: \operatorname{cotg}^{-1}(-1)=\tfrac{3\pi}{4} (na convenção principal) e \operatorname{tg}\!\big(\tfrac{3\pi}{4}\big)=-1=\dfrac{1}{-1}.
  • Se x=0: \operatorname{cotg}^{-1}0=\tfrac{\pi}{2} e \operatorname{tg}\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big) é indefinida, concordando com a condição x\neq 0.

Resposta

\operatorname{tg}\!\left(\operatorname{cotg}^{-1} x\right)=\dfrac{1}{x},\quad x\neq 0

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