Escreva uma expressão algébrica para
.
Passo 1
O que o problema pede: escrever uma expressão algébrica para
.
Informações dadas: a única coisa explícita é a expressão com a função inversa ; assumir que
é um número real. O objetivo final é uma expressão em termos de
.
Informações dadas: a única coisa explícita é a expressão com a função inversa
Passo 2
Definir uma variável ângulo para “desembrulhar” a inversa. Seja
. Por definição de função inversa, isso significa que
Interpretação:
é um ângulo cujo cotangente vale
.
Passo 3
Lembrar a relação básica entre tangente e cotangente. A cotangente é o recíproco da tangente, isto é,
desde que
esteja definida (não seja zero no denominador). Dessa identidade podemos isolar a tangente:
Isso é fácil de visualizar numa trigonometria de triângulo retângulo:
e
, logo são recíprocas.
Passo 4
Aplicar a relação ao nosso
. Como
, substituindo na expressão da tangente obtemos
desde que
(se
então
e
é indefinida). Voltando à notação original,
Passo 5
Verificações rápidas para ganhar confiança:
- Se
: e . - Se
: (na convenção principal) e . - Se
: e é indefinida, concordando com a condição .