1.5 i Um campo vetorial é especificado como \mathbf{G}=24 x y \mathbf{a}_{x}+12\left(x^{2}+2\right) \mathbf{a}_{y}+ 18 z^{2} \mathbf{a}_{z}. Dados dois pontos P(1,2,-1) e Q(-2,1,3), encontre: (a) \mathbf{G} \mathrm{em} P; (b) um vetor unitário em Q, na direção e no sentido de \mathbf{G}; (c) um vetor unitário direcionado no sentido de Q para P; (d) a equação da superfície na qual |\mathbf{G}|=60.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{G}(x,y,z)=24\,x\,y\,\mathbf{a}_{x}+12\bigl(x^{2}+2\bigr)\mathbf{a}_{y}+18\,z^{2}\,\mathbf{a}_{z}
e os pontos P(1,2,-1) e Q(-2,1,3). Precisamos:
a) \mathbf{G} em P;
b) vetor unitário em Q na direção e sentido de \mathbf{G};
c) vetor unitário de Q para P;
d) equação da superfície onde \lvert\mathbf{G}\rvert=60.

Passo 2

Para obter \mathbf{G}(P), basta substituir x=1, y=2, z=-1 em cada componente:
G_{x}(1,2,-1)=24\cdot1\cdot2=48,\quad G_{y}(1,2,-1)=12\bigl(1^{2}+2\bigr)=12\cdot3=36,\quad G_{z}(1,2,-1)=18\cdot(-1)^{2}=18.
Logo,
\mathbf{G}(P)=48\,\mathbf{a}_{x}+36\,\mathbf{a}_{y}+18\,\mathbf{a}_{z}.

Passo 3

Primeiro calculemos \mathbf{G}(Q) em Q(-2,1,3):
G_{x}(-2,1,3)=24\cdot(-2)\cdot1=-48,\quad G_{y}(-2,1,3)=12\bigl((-2)^{2}+2\bigr)=12\cdot6=72,
G_{z}(-2,1,3)=18\cdot3^{2}=162.
O módulo vale
\lvert\mathbf{G}(Q)\rvert =\sqrt{(-48)^{2}+72^{2}+162^{2}} =\sqrt{2304+5184+26244} =\sqrt{33732} =6\sqrt{937}.
O vetor unitário na mesma direção e sentido de \mathbf{G}(Q) é
\hat{\mathbf{u}} =\frac{\mathbf{G}(Q)}{\lvert\mathbf{G}(Q)\rvert} =\frac{-48\,\mathbf{a}_{x}+72\,\mathbf{a}_{y}+162\,\mathbf{a}_{z}}{6\sqrt{937}} =\frac{-8\,\mathbf{a}_{x}+12\,\mathbf{a}_{y}+27\,\mathbf{a}_{z}}{\sqrt{937}}.

Passo 4

O vetor que vai de Q a P é
\overrightarrow{QP}=P-Q=(1-(-2),\,2-1,\,-1-3)=(3,1,-4).
Seu módulo é
\lvert\overrightarrow{QP}\rvert=\sqrt{3^{2}+1^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+1+16}=\sqrt{26}.
Logo o vetor unitário de Q para P é
\hat{\mathbf{v}} =\frac{\overrightarrow{QP}}{\lvert\overrightarrow{QP}\rvert} =\frac{3\,\mathbf{a}_{x}+1\,\mathbf{a}_{y}-4\,\mathbf{a}_{z}}{\sqrt{26}}.

Passo 5

Queremos a superfície definida por \lvert\mathbf{G}(x,y,z)\rvert=60. Primeiro escrevemos
\lvert\mathbf{G}\rvert^{2} =(24xy)^{2}+\bigl[12(x^{2}+2)\bigr]^{2}+(18z^{2})^{2} =576\,x^{2}y^{2}+144\,(x^{2}+2)^{2}+324\,z^{4}.
Impondo \lvert\mathbf{G}\rvert=60 e elevando ao quadrado,
576\,x^{2}y^{2}+144\,(x^{2}+2)^{2}+324\,z^{4}=3600.
Podemos simplificar dividindo tudo por 36:
16\,x^{2}y^{2}+4\,(x^{2}+2)^{2}+9\,z^{4}=100.
Essa é a equação da superfície procurada.

Resposta

(a) \mathbf{G}(P)=48\,\mathbf{a}_{x}+36\,\mathbf{a}_{y}+18\,\mathbf{a}_{z}.
(b) \displaystyle \hat{\mathbf{u}}=\frac{-8\,\mathbf{a}_{x}+12\,\mathbf{a}_{y}+27\,\mathbf{a}_{z}}{\sqrt{937}}.
(c) \displaystyle \hat{\mathbf{v}}=\frac{3\,\mathbf{a}_{x}+\mathbf{a}_{y}-4\,\mathbf{a}_{z}}{\sqrt{26}}.
(d) \displaystyle 16\,x^{2}y^{2}+4\,(x^{2}+2)^{2}+9\,z^{4}=100.

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