Escreva a expressão diferencial do momento linear transportado por uma onda eletromagnética em função:
(a) da energia U da onda;
(b) do módulo do vetor de Poynting.

Passo 1

O enunciado pede duas formas da expressão diferencial do momento linear transportado por uma onda eletromagnética:
  • (a) em função da energia U da onda;
  • (b) em função do módulo do vetor de Poynting.
Informações relevantes que o enunciado fornece/implica:
  • Trata-se de uma onda eletromagnética propagando energia e momento.
  • O vetor de Poynting \mathbf{S} representa o fluxo de energia por unidade de área por unidade de tempo.
  • Queremos a expressão diferencial (isto é, para uma porção infinitesimal de energia ou de volume) do momento linear transportado pela onda.

Passo 2

Conceitos básicos (pequena aula): o que é o vetor de Poynting e a densidade de energia
  • O vetor de Poynting é definido (no vácuo) por
\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B},
onde \mathbf{E} é o campo elétrico, \mathbf{B} o campo magnético e \mu_0 a permeabilidade do vácuo. O vetor \mathbf{S} tem direção da propagação da onda e magnitude igual à potência transportada por unidade de área.
  • A densidade de energia eletromagnética (energia por unidade de volume) no vácuo é
u = \frac{1}{2}\left(\varepsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0}\right),
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Para uma onda plana viajando no vácuo há relações simples entre u, \mathbf{S} e a velocidade da luz c (ver próximo passo).

Passo 3

Relação entre fluxo de energia, densidade de energia e velocidade de propagação
  • Intuitivamente: se numa região há densidade de energia u e essa energia se desloca com velocidade c numa direção \hat{\mathbf{n}}, o fluxo de energia (energia por unidade de área por unidade de tempo) é
\mathbf{S} = u\,c\,\hat{\mathbf{n}}.
  • Em particular, para uma onda plana no vácuo vale a relação escalar entre magnitude do vetor de Poynting e densidade de energia:
|\mathbf{S}| = u\,c.
Essa é uma consequência física: energia por volume multiplicada pela velocidade dá energia por área por tempo.

Passo 4

Ligando energia e momento para radiação (ideia física usada)
  • Para radiação (fótons) vale a relação energética relativística E = pc (energia E associada a um impulso p quando a partícula é sem massa). Para um pacote de radiação que carrega energia U e se propaga numa direção \hat{\mathbf{n}}, o módulo do momento associado é
p = \frac{U}{c}.
  • Para tratar densidades: a densidade de momento (momento por unidade de volume) é
g = \frac{p}{V} = \frac{U/V}{c} = \frac{u}{c},
onde u é a densidade de energia. Como |\mathbf{S}| = u c, obtemos a relação entre densidade de momento e vetor de Poynting:
\mathbf{g} = \frac{\mathbf{S}}{c^2}.
Aqui \mathbf{g} é um vetor na direção da propagação, com magnitude g = u/c.

Passo 5

Expressão diferencial do momento em função da energia U (parte a)
  • Considere uma porção infinitesimal de energia \mathrm{d}U contida numa pequena parcela da onda. Pelo resultado p=U/c, o correspondente diferencial de momento (vetorial, apontando na direção de propagação \hat{\mathbf{n}}) é
\mathrm{d}\mathbf{p} = \frac{\hat{\mathbf{n}}}{c}\,\mathrm{d}U.
Explicando devagar: \mathrm{d}U é a energia dessa pequena porção; dividir por c dá o módulo do momento associado; multiplicar por \hat{\mathbf{n}} dá a direção correta.

Passo 6

Expressão diferencial do momento em função do módulo do vetor de Poynting (parte b)
  • Começamos da densidade de momento \mathbf{g}=\dfrac{\mathbf{S}}{c^2}. Para um volume infinitesimal \mathrm{d}V, o diferencial de momento contido nesse volume é
\mathrm{d}\mathbf{p} = \mathbf{g}\,\mathrm{d}V = \frac{\mathbf{S}}{c^2}\,\mathrm{d}V.
  • Se o enunciado pede especificamente em função do módulo de \mathbf{S}, escrevemos a versão escalar (módulo do diferencial de momento):
\mathrm{d}p = \frac{|\mathbf{S}|}{c^2}\,\mathrm{d}V.
  • Observação de consistência: usando \mathrm{d}U = u\,\mathrm{d}V e u=|\mathbf{S}|/c recupera-se a relação do Passo 5:
\mathrm{d}\mathbf{p} = \frac{\mathbf{S}}{c^2}\,\mathrm{d}V = \frac{|\mathbf{S}|}{c^2}\,\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}V = \frac{\hat{\mathbf{n}}}{c}\left(\frac{|\mathbf{S}|}{c}\,\mathrm{d}V\right) = \frac{\hat{\mathbf{n}}}{c}\,\mathrm{d}U.

Passo 7

Exemplo rápido e incentivo
  • Exemplo numérico rápido: um pulso com energia \mathrm{d}U=1\\ \mathrm{J} transporta momento de módulo \mathrm{d}p = 1/c\\ \mathrm{kg\cdot m/s} (o que é um número pequeno porque c é grande). Não se assuste com pequenos valores: a ideia é o método.
  • Você já tem as duas fórmulas principais e a razão física por trás delas: momento por energia é 1/c, e densidade de momento é vetor de Poynting dividido por c^2. Vai dar certo na prova — respira fundo e confia no passo a passo.

Resposta

(a) \mathrm{d}\mathbf{p}=\dfrac{\hat{\mathbf{n}}}{c}\,\mathrm{d}U
(b) \mathrm{d}p=\dfrac{|\mathbf{S}|}{c^{2}}\,\mathrm{d}V

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