Escreva a expressão diferencial do momento linear transportado por uma onda eletromagnética em função:
(a) da energia
da onda;
(b) do módulo do vetor de Poynting.
(a) da energia
(b) do módulo do vetor de Poynting.
Passo 1
O enunciado pede duas formas da expressão diferencial do momento linear transportado por uma onda eletromagnética:
- (a) em função da energia
da onda; - (b) em função do módulo do vetor de Poynting.
Informações relevantes que o enunciado fornece/implica:
- Trata-se de uma onda eletromagnética propagando energia e momento.
- O vetor de Poynting
representa o fluxo de energia por unidade de área por unidade de tempo. - Queremos a expressão diferencial (isto é, para uma porção infinitesimal de energia ou de volume) do momento linear transportado pela onda.
Passo 2
Conceitos básicos (pequena aula): o que é o vetor de Poynting e a densidade de energia
- O vetor de Poynting é definido (no vácuo) por
onde
é o campo elétrico,
o campo magnético e
a permeabilidade do vácuo. O vetor
tem direção da propagação da onda e magnitude igual à potência transportada por unidade de área.
- A densidade de energia eletromagnética (energia por unidade de volume) no vácuo é
onde
é a permissividade do vácuo. Para uma onda plana viajando no vácuo há relações simples entre
,
e a velocidade da luz
(ver próximo passo).
Passo 3
Relação entre fluxo de energia, densidade de energia e velocidade de propagação
- Intuitivamente: se numa região há densidade de energia
e essa energia se desloca com velocidade numa direção , o fluxo de energia (energia por unidade de área por unidade de tempo) é
- Em particular, para uma onda plana no vácuo vale a relação escalar entre magnitude do vetor de Poynting e densidade de energia:
Essa é uma consequência física: energia por volume multiplicada pela velocidade dá energia por área por tempo.
Passo 4
Ligando energia e momento para radiação (ideia física usada)
- Para radiação (fótons) vale a relação energética relativística
(energia associada a um impulso quando a partícula é sem massa). Para um pacote de radiação que carrega energia e se propaga numa direção , o módulo do momento associado é
- Para tratar densidades: a densidade de momento (momento por unidade de volume) é
onde
é a densidade de energia. Como
, obtemos a relação entre densidade de momento e vetor de Poynting:
Aqui
é um vetor na direção da propagação, com magnitude
.
Passo 5
Expressão diferencial do momento em função da energia
(parte a)
- Considere uma porção infinitesimal de energia
contida numa pequena parcela da onda. Pelo resultado , o correspondente diferencial de momento (vetorial, apontando na direção de propagação ) é
Explicando devagar:
é a energia dessa pequena porção; dividir por
dá o módulo do momento associado; multiplicar por
dá a direção correta.
Passo 6
Expressão diferencial do momento em função do módulo do vetor de Poynting (parte b)
- Começamos da densidade de momento
. Para um volume infinitesimal , o diferencial de momento contido nesse volume é
- Se o enunciado pede especificamente em função do módulo de
, escrevemos a versão escalar (módulo do diferencial de momento):
- Observação de consistência: usando
e recupera-se a relação do Passo 5:
Passo 7
Exemplo rápido e incentivo
- Exemplo numérico rápido: um pulso com energia
transporta momento de módulo (o que é um número pequeno porque é grande). Não se assuste com pequenos valores: a ideia é o método. - Você já tem as duas fórmulas principais e a razão física por trás delas: momento por energia é
, e densidade de momento é vetor de Poynting dividido por . Vai dar certo na prova — respira fundo e confia no passo a passo.
Resposta
(a)
(b)