Qual é a relação entre o valor eficaz da indução magnética de uma onda eletromagnética plana que se propaga no vácuo e o valor eficaz do campo elétrico desta onda?

Passo 1

O enunciado pede a relação entre o valor eficaz (RMS) da indução magnética e o valor eficaz do campo elétrico de uma onda eletromagnética plana que se propaga no vácuo. Informações relevantes fornecidas pela frase do enunciado:
  • A onda é uma onda eletromagnética plana no vácuo.
  • Quer-se a relação entre o valor eficaz de \mathbf{B} (indução magnética) e o valor eficaz de \mathbf{E} (campo elétrico).
  • Não há outros dados numéricos; a resposta deve ser uma relação geral (fórmula).

Passo 2

Entender o que é “valor eficaz” (RMS) e relação com amplitude para ondas senoidais.
  • Para uma grandeza senoidal com amplitude de pico A_0 (ou valor máximo) do tipo A(t)=A_0\cos(\omega t + \varphi), o valor eficaz (RMS) é
A_{\text{rms}}=\frac{A_0}{\sqrt{2}}.
Expliquei isso porque normalmente ondas eletromagnéticas de prova são tratadas como senoidais; então relacionar amplitudes é suficiente para relacionar os valores eficazes.

Passo 3

Usar a forma simples de uma onda plana senoidal no vácuo e escrever as expressões de campo elétrico e magnético. Consideremos uma onda que se propaga no eixo x, com \mathbf{E} no eixo y e \mathbf{B} no eixo z. Escrevemos:
\mathbf{E}(x,t)=\hat{y}\,E_0\cos(kx-\omega t), \qquad \mathbf{B}(x,t)=\hat{z}\,B_0\cos(kx-\omega t),
onde E_0 e B_0 são as amplitudes (picos) dos campos, k é o número de onda e \omega a frequência angular.

Passo 4

Aplicar uma das equações de Maxwell (Lei de Faraday) para relacionar as amplitudes. A Lei de Faraday no vácuo diz
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.
Calculemos a componente relevante: para \mathbf{E}=\hat{y}E_0\cos(kx-\omega t) tem-se (\nabla\times\mathbf{E})_z=\partial_x E_y. Então
\partial_x E_y = -\partial_t B_z.
Derivando as expressões:
\partial_x E_y = -k E_0\sin(kx-\omega t), \qquad -\partial_t B_z = \omega B_0\sin(kx-\omega t).
Igualando as duas expressões (mesma dependência temporal espacial), obtemos
-k E_0\sin(kx-\omega t)=\omega B_0\sin(kx-\omega t).
Cancelando o fator \sin(kx-\omega t) (não nulo em geral) resulta
k E_0 = -\omega B_0.
O sinal negativo só indica orientação; em módulo temos
E_0=\frac{\omega}{k}B_0.

Passo 5

Relacionar \omega/k com a velocidade de propagação no vácuo. Para uma onda no vácuo a velocidade de fase é a velocidade da luz c, e vale
\frac{\omega}{k}=c.
Substituindo no passo anterior dá a relação entre amplitudes
E_0=c\,B_0.
Isto é, em módulo o campo elétrico é c vezes a indução magnética (amplitude).

Passo 6

Passar da relação de amplitudes para a relação entre valores eficazes (RMS). Como explicado no Passo 2, para senóides
E_{\text{rms}}=\frac{E_0}{\sqrt{2}},\qquad B_{\text{rms}}=\frac{B_0}{\sqrt{2}}.
Dividindo as duas igualdades e usando E_0=cB_0 obtém-se diretamente
E_{\text{rms}}=c\,B_{\text{rms}}.
Ou, equivalentemente,
B_{\text{rms}}=\frac{E_{\text{rms}}}{c}.

Passo 7

Forma alternativa usando a impedância do vácuo. Definindo a intensidade de campo magnético \mathbf{H} via \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}, a impedância característica do vácuo é
Z_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\approx 377\\ \Omega.
Para a onda plana no vácuo também vale
E_{\text{rms}}=Z_0\,H_{\text{rms}}.
Como B_{\text{rms}}=\mu_0 H_{\text{rms}}, substituindo obtemos
E_{\text{rms}}=Z_0\frac{B_{\text{rms}}}{\mu_0}.
Usando a identidade Z_0/\mu_0=c recuperamos E_{\text{rms}}=cB_{\text{rms}}. Isso é útil em provas para converter entre as formas E- B e E- H.

Passo 8

Exemplo numérico rápido (para fixar): se E_{\text{rms}}=1\\ \mathrm{V/m}, então
B_{\text{rms}}=\frac{1\\ \mathrm{V/m}}{c}\approx\frac{1}{3,0\times10^{8}}\\ \mathrm{T}\approx3,33\times10^{-9}\\ \mathrm{T}.

Passo 9

Dicas de prova (prático e rápido):
  • Se vir “onda eletromagnética plana no vácuo” pense imediatamente em E_0=cB_0 e então passe para RMS com o fator 1/\sqrt{2} (se a onda for senoidal).
  • Se pedirem em termos de H, use E_{\text{rms}}=Z_0 H_{\text{rms}} com Z_0\approx 377\\ \Omega.
  • Lembre: c\approx3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}, \varepsilon_0=1/(\mu_0 c^2).

Resposta

E_{\text{rms}}=c\,B_{\text{rms}}

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