Qual é a relação entre o valor eficaz da indução magnética de uma onda eletromagnética plana que se propaga no vácuo e o valor eficaz do campo elétrico desta onda?
Passo 1
O enunciado pede a relação entre o valor eficaz (RMS) da indução magnética e o valor eficaz do campo elétrico de uma onda eletromagnética plana que se propaga no vácuo. Informações relevantes fornecidas pela frase do enunciado:
- A onda é uma onda eletromagnética plana no vácuo.
- Quer-se a relação entre o valor eficaz de
(indução magnética) e o valor eficaz de (campo elétrico). - Não há outros dados numéricos; a resposta deve ser uma relação geral (fórmula).
Passo 2
Entender o que é “valor eficaz” (RMS) e relação com amplitude para ondas senoidais.
- Para uma grandeza senoidal com amplitude de pico
(ou valor máximo) do tipo , o valor eficaz (RMS) é
Expliquei isso porque normalmente ondas eletromagnéticas de prova são tratadas como senoidais; então relacionar amplitudes é suficiente para relacionar os valores eficazes.
Passo 3
Usar a forma simples de uma onda plana senoidal no vácuo e escrever as expressões de campo elétrico e magnético. Consideremos uma onda que se propaga no eixo
, com
no eixo
e
no eixo
. Escrevemos:
onde
e
são as amplitudes (picos) dos campos,
é o número de onda e
a frequência angular.
Passo 4
Aplicar uma das equações de Maxwell (Lei de Faraday) para relacionar as amplitudes. A Lei de Faraday no vácuo diz
Calculemos a componente relevante: para
tem-se
. Então
Derivando as expressões:
Igualando as duas expressões (mesma dependência temporal espacial), obtemos
Cancelando o fator
(não nulo em geral) resulta
O sinal negativo só indica orientação; em módulo temos
Passo 5
Relacionar
com a velocidade de propagação no vácuo. Para uma onda no vácuo a velocidade de fase é a velocidade da luz
, e vale
Substituindo no passo anterior dá a relação entre amplitudes
Isto é, em módulo o campo elétrico é
vezes a indução magnética (amplitude).
Passo 6
Passar da relação de amplitudes para a relação entre valores eficazes (RMS). Como explicado no Passo 2, para senóides
Dividindo as duas igualdades e usando
obtém-se diretamente
Ou, equivalentemente,
Passo 7
Forma alternativa usando a impedância do vácuo. Definindo a intensidade de campo magnético
via
, a impedância característica do vácuo é
Para a onda plana no vácuo também vale
Como
, substituindo obtemos
Usando a identidade
recuperamos
. Isso é útil em provas para converter entre as formas
-
e
-
.
Passo 8
Exemplo numérico rápido (para fixar): se
, então
Passo 9
Dicas de prova (prático e rápido):
- Se vir “onda eletromagnética plana no vácuo” pense imediatamente em
e então passe para RMS com o fator (se a onda for senoidal). - Se pedirem em termos de
, use com . - Lembre:
, , .