Escreva as relações que determinam a potência instantânea \left(P_{0}\right) e a potência média de uma fonte eletromagnética isotrópica, conhecendo o valor do módulo do vetor de Poynting e da densidade de energia média a uma distância r da fonte.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tirei estas informações diretamente do enunciado, nada foi assumido além do que está dito):
  • Há uma fonte eletromagnética isotrópica (ou seja, radia igualmente em todas as direções).
  • Conhece-se, a uma distância r da fonte, o valor do módulo do vetor de Poynting (instantâneo) — vou chamar esse módulo de S(r,t) quando for função do tempo, ou de S(r) se for um valor instantâneo dado.
  • Conhece-se também a densidade de energia média eletromagnética a essa distância — vou chamar essa densidade média de u(r) ou, se for função do tempo, de u(r,t) e a sua média temporal por \langle u(r,t)\rangle.
  • O que se pede: escrever as relações que determinam (a) a potência instantânea P_{0} emitida pela fonte e (b) a potência média emitida, usando os dados acima (o módulo do vetor de Poynting e a densidade de energia média) e a dependência com r.

Passo 2

Conceitos básicos que vou usar (cada fórmula e símbolo explicado de forma simples):
  • O vetor de Poynting é definido por \mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}. Ele representa a densidade de fluxo de potência (energia por unidade de área por unidade de tempo) num ponto do espaço. O seu módulo será chamado aqui de S quando não for necessário manter a seta.
    • \mathbf{E} é o campo elétrico (em V/m).
    • \mathbf{H} é o campo magnético em unidades A/m.
    • Unidades de \mathbf{S}: W/m ^2.
  • A densidade de energia eletromagnética instantânea em vácuo é
    u(t)=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2(t)+\tfrac{1}{2}\mu_0 H^2(t),
    onde \varepsilon_0 e \mu_0 são a permissividade e a permeabilidade do vácuo. Aqui u tem unidades J/m ^3.
  • A potência instantânea que atravessa uma superfície qualquer é o fluxo do vetor de Poynting através dessa superfície:
    P(t)=\iint_{S} \mathbf{S}(t)\cdot d\mathbf{A}.
    Para uma superfície esférica de raio r centrada na fonte, d\mathbf{A}=\hat{r}\,r^2 d\Omega (com d\Omega elemento de ângulo sólido) e a área total é 4\pi r^2.

Passo 3

Explique por que, para uma fonte isotrópica, o vetor de Poynting na esfera é radial e de módulo uniforme:
  • Isotrópica significa que a potência irradiada por unidade de área na superfície esférica depende apenas de r, não do ângulo. Assim \mathbf{S}(r,t)=S(r,t)\,\hat{r} com S(r,t) escalar independente da direção sobre a esfera.
  • Portanto o fluxo pela esfera de raio r é P_{0}(t)=\iint_{S_r}\mathbf{S}(r,t)\cdot d\mathbf{A} =\iint_{S_r} S(r,t)\,\hat{r}\cdot\hat{r}\,r^2 d\Omega =S(r,t)\,r^2\iint_{S_r} d\Omega.
  • Como \iint_{S_r} d\Omega=4\pi, obtemos a fórmula imediata P_{0}(t)=4\pi r^2 S(r,t).Esta é a potência instantânea total atravessando a esfera de raio r. Intuição: S é potência por área; multiplicando pela área da esfera 4\pi r^2 dá a potência total.

Passo 4

Relacionar o vetor de Poynting com a densidade de energia: por que aparece o fator c.
  • Em ondas eletromagnéticas que viajam no vácuo (far-field de uma fonte radiativa) os campos satisfazem que \mathbf{E}\perp\mathbf{H} e |\mathbf{H}|=|\mathbf{E}|/\eta_0, onde \eta_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} é a impedância do vácuo. Além disso a velocidade de propagação é c=1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}.
  • Calculemos S e u em termos de E (passo a passo):
    • O módulo instantâneo do vetor de Poynting é S = |\mathbf{E}\times\mathbf{H}| = E\,H = E\cdot\frac{E}{\eta_0}=\frac{E^2}{\eta_0}.
    • A densidade de energia instantânea vale u=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2+\tfrac{1}{2}\mu_0 H^2.Substituindo H=E/\eta_0 e \eta_0^2=\mu_0/\varepsilon_0 u=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2+\tfrac{1}{2}\mu_0\frac{E^2}{\eta_0^2} =\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2+\tfrac{1}{2}\mu_0\frac{E^2}{\mu_0/\varepsilon_0} =\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2+\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 =\varepsilon_0 E^2.
    • Agora relacione S e u: S=\frac{E^2}{\eta_0} =E^2\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}} =\left(\varepsilon_0 E^2\right)\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} =c\,u.
  • Conclusão física simples: o fluxo de energia por unidade de área (Poynting) é a densidade de energia multiplicada pela velocidade de transporte c. Isso vale no vácuo e no far-field onde a onda se comporta localmente como uma onda livre.

Passo 5

Expressar a potência instantânea em termos da densidade de energia (instantânea):
  • Usando o resultado do Passo 3 e a relação S=c\,u do Passo 4, obtemos P_{0}(t)=4\pi r^2 S(r,t)=4\pi r^2\,c\,u(r,t).Ou seja, também é possível escrever a potência instantânea inteiramente via a densidade de energia instantânea.

Passo 6

Potência média temporal (o que é e como se obtém):
  • A potência média \langle P\rangle é a média temporal de P_{0}(t). Como multiplicação por constantes (como 4\pi r^2) comutam com a média temporal, e usando \langle S\rangle = c\,\langle u\rangle, obtemos \langle P\rangle = 4\pi r^2 \langle S(r,t)\rangle = 4\pi r^2\,c\,\langle u(r,t)\rangle.
  • Se no enunciado a densidade de energia fornecida já é a densidade média \langle u(r,t)\rangle (visto que foi dito “densidade de energia média”), então a potência média é diretamente \langle P\rangle = 4\pi r^2\,c\,u(r),onde u(r) é essa densidade média conhecida.

Resposta

P_{0}(t)=4\pi r^{2}S(r,t)=4\pi r^{2}c\,u(r,t)
\langle P\rangle=4\pi r^{2}\langle S(r,t)\rangle=4\pi r^{2}c\,\langle u(r,t)\rangle

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