Escreva as relações que determinam a potência instantânea
e a potência média de uma fonte eletromagnética isotrópica, conhecendo o valor do módulo do vetor de Poynting e da densidade de energia média a uma distância
da fonte.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tirei estas informações diretamente do enunciado, nada foi assumido além do que está dito):
- Há uma fonte eletromagnética isotrópica (ou seja, radia igualmente em todas as direções).
- Conhece-se, a uma distância
da fonte, o valor do módulo do vetor de Poynting (instantâneo) — vou chamar esse módulo de quando for função do tempo, ou de se for um valor instantâneo dado. - Conhece-se também a densidade de energia média eletromagnética a essa distância — vou chamar essa densidade média de
ou, se for função do tempo, de e a sua média temporal por . - O que se pede: escrever as relações que determinam (a) a potência instantânea
emitida pela fonte e (b) a potência média emitida, usando os dados acima (o módulo do vetor de Poynting e a densidade de energia média) e a dependência com .
Passo 2
Conceitos básicos que vou usar (cada fórmula e símbolo explicado de forma simples):
-
O vetor de Poynting é definido por
. Ele representa a densidade de fluxo de potência (energia por unidade de área por unidade de tempo) num ponto do espaço. O seu módulo será chamado aqui de quando não for necessário manter a seta. -
é o campo elétrico (em V/m). -
é o campo magnético em unidades A/m. - Unidades de
: W/m .
-
-
A densidade de energia eletromagnética instantânea em vácuo éonde
e são a permissividade e a permeabilidade do vácuo. Aqui tem unidades J/m . -
A potência instantânea que atravessa uma superfície qualquer é o fluxo do vetor de Poynting através dessa superfície:Para uma superfície esférica de raio
centrada na fonte, (com elemento de ângulo sólido) e a área total é .
Passo 3
Explique por que, para uma fonte isotrópica, o vetor de Poynting na esfera é radial e de módulo uniforme:
- Isotrópica significa que a potência irradiada por unidade de área na superfície esférica depende apenas de
, não do ângulo. Assim com escalar independente da direção sobre a esfera. - Portanto o fluxo pela esfera de raio
é - Como
, obtemos a fórmula imediata Esta é a potência instantânea total atravessando a esfera de raio . Intuição: é potência por área; multiplicando pela área da esfera dá a potência total.
Passo 4
Relacionar o vetor de Poynting com a densidade de energia: por que aparece o fator
.
- Em ondas eletromagnéticas que viajam no vácuo (far-field de uma fonte radiativa) os campos satisfazem que
e , onde é a impedância do vácuo. Além disso a velocidade de propagação é . - Calculemos
e em termos de (passo a passo): - O módulo instantâneo do vetor de Poynting é
- A densidade de energia instantânea vale
Substituindo e dá - Agora relacione
e :
- O módulo instantâneo do vetor de Poynting é
- Conclusão física simples: o fluxo de energia por unidade de área (Poynting) é a densidade de energia multiplicada pela velocidade de transporte
. Isso vale no vácuo e no far-field onde a onda se comporta localmente como uma onda livre.
Passo 5
Expressar a potência instantânea em termos da densidade de energia (instantânea):
- Usando o resultado do Passo 3 e a relação
do Passo 4, obtemos Ou seja, também é possível escrever a potência instantânea inteiramente via a densidade de energia instantânea.
Passo 6
Potência média temporal (o que é e como se obtém):
- A potência média
é a média temporal de . Como multiplicação por constantes (como ) comutam com a média temporal, e usando , obtemos - Se no enunciado a densidade de energia fornecida já é a densidade média
(visto que foi dito “densidade de energia média”), então a potência média é diretamente onde é essa densidade média conhecida.