Escreva uma expressão para dV dado que V é uma função de p e T. Deduza um a expressão para dinV em termos do coeficiente de expansão e compressibilidade isotérmica. R. d l n V=-k d d P+alpha d T.

Passo 1

Beleza, temos uma função de estado V que depende da pressão dln V ;=; -,k,dp;+;alpha,dT e da temperatura . O que vamos precisar é:
  • A definição de diferencial total de uma função de duas variáveis.
  • As definições de coeficiente de expansão térmica e de compressibilidade isotérmica .
    No fim, a gente vai chegar em

Passo 2

Primeiro, escrevemos o diferencial total de dV ;=;l(partial Vpartial pr)T,dp;+;l(partial Vpartial Tr)p,dT . Por definição de diferencial total:
A ideia é expressar essas derivadas parciais em termos de e .

Passo 3

Definindo a compressibilidade isotérmica k ;=; -,1V,l(partial Vpartial pr)T Longrightarrow l(partial Vpartial pr)T ;=; -,k,V :
O sinal “–” aparece porque, em geral, aumento de pressão faz o volume diminuir.

Passo 4

Definindo o coeficiente de expansão térmica alpha ;=; 1V,l(partial Vpartial Tr)p Longrightarrow l(partial Vpartial Tr)p ;=;alpha,V :

Passo 5

Substituindo essas expressões em dV = l(-,k,Vr),dp ;+;l(alpha,Vr),dT = V,l(-,k,dp + alpha,dTr) :
dVV ;=; -,k,dp ;+;alpha,dT Longrightarrow dln V ;=; -,k,dp ;+;alpha,dT
Agora dividimos tudo por (e lembramos que ):

Resposta

boxeddln V ;=;-,k,dp ;+;alpha,dT

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