Escreva uma expressão que especifique os vetores em coordenadas cartesianas:
Aceleração Vetorial Média no espaço
Obs. Deverá realizar os desenvolvimentos matemáticos

Passo 1

O que o enunciado pede: escrever uma expressão que especifique o vetor “Aceleração Vetorial Média no espaço” em coordenadas cartesianas, e mostrar os desenvolvimentos matemáticos.
Informações e convenções que vamos usar (nenhuma suposição extra do enunciado):
  • Denotar o vetor posição por \mathbf{r}(t).
  • Usar os versores cartesianos \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}} para as direções x,y,z.
  • Considerar dois instantes de tempo t_1 e t_2 com \Delta t = t_2-t_1\neq 0.
  • A aceleração vetorial média será definida a partir da variação do vetor velocidade no intervalo [t_1,t_2].

Passo 2

Definir o vetor posição em coordenadas cartesianas e as componentes:
\mathbf{r}(t)=x(t)\,\hat{\mathbf{i}}+y(t)\,\hat{\mathbf{j}}+z(t)\,\hat{\mathbf{k}}.
Aqui:
  • x(t) é a componente x da posição (função do tempo).
  • y(t) é a componente y da posição.
  • z(t) é a componente z da posição.
Explicação rápida do que isso significa: o objeto no espaço tem suas coordenadas (x(t),y(t),z(t)) em cada instante t. O vetor posição junta essas três informações numa única entidade vetorial, usando os vetores unitários das direções cartesiana.

Passo 3

Definir o vetor velocidade (média/instantânea) a partir da posição. A definição usada aqui é a velocidade instantânea como derivada da posição:
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\dot{x}(t)\,\hat{\mathbf{i}}+\dot{y}(t)\,\hat{\mathbf{j}}+\dot{z}(t)\,\hat{\mathbf{k}},
onde:
  • \dot{x}(t)=\dfrac{dx}{dt} é a velocidade na direção x, e analogamente para \dot{y}(t) e \dot{z}(t).
Se o estudante preferir pensar em médias em intervalos finitos, a velocidade média entre t_1 e t_2 é
\overline{\mathbf{v}}=\frac{\mathbf{r}(t_2)-\mathbf{r}(t_1)}{t_2-t_1}.
Mas para a aceleração média vamos trabalhar com a variação da velocidade.

Passo 4

Definir a aceleração vetorial média. Por definição, a aceleração média no intervalo [t_1,t_2] é a razão entre a variação do vetor velocidade e o intervalo de tempo:
\overline{\mathbf{a}}=\frac{\Delta\mathbf{v}}{\Delta t}=\frac{\mathbf{v}(t_2)-\mathbf{v}(t_1)}{t_2-t_1}.
Agora escrevemos as componentes dessa expressão em coordenadas cartesianas. Substituindo \mathbf{v}(t)=\dot{x}(t)\,\hat{\mathbf{i}}+\dot{y}(t)\,\hat{\mathbf{j}}+\dot{z}(t)\,\hat{\mathbf{k}} obtemos:
\overline{\mathbf{a}}=\frac{\big(\dot{x}(t_2)-\dot{x}(t_1)\big)\,\hat{\mathbf{i}}+\big(\dot{y}(t_2)-\dot{y}(t_1)\big)\,\hat{\mathbf{j}}+\big(\dot{z}(t_2)-\dot{z}(t_1)\big)\,\hat{\mathbf{k}}}{t_2-t_1}.

Passo 5

Separando as componentes escalares da aceleração média, obtemos explicitamente:
\overline{\mathbf{a}}=\overline{a}_x\,\hat{\mathbf{i}}+\overline{a}_y\,\hat{\mathbf{j}}+\overline{a}_z\,\hat{\mathbf{k}},
com
\overline{a}_x=\frac{\dot{x}(t_2)-\dot{x}(t_1)}{t_2-t_1},\qquad \overline{a}_y=\frac{\dot{y}(t_2)-\dot{y}(t_1)}{t_2-t_1},\qquad \overline{a}_z=\frac{\dot{z}(t_2)-\dot{z}(t_1)}{t_2-t_1}.
Interpretação prática: cada componente da aceleração média é simplesmente a variação média da respectiva componente da velocidade ao longo do intervalo de tempo.

Passo 6

Relacionando com a posição (se quiser expressar tudo a partir de \mathbf{r}(t)): cada \dot{x}(t_i) é \dfrac{dx}{dt}\big|_{t=t_i}. Portanto a componente x da aceleração média pode ser escrita como
\overline{a}_x=\frac{\dfrac{dx}{dt}\big|_{t=t_2}-\dfrac{dx}{dt}\big|_{t=t_1}}{t_2-t_1}.
Analogamente para y e z. Se se toma o limite \Delta t\to 0 recupera-se a aceleração instantânea:
\mathbf{a}(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\overline{\mathbf{a}}=\ddot{x}(t)\,\hat{\mathbf{i}}+\ddot{y}(t)\,\hat{\mathbf{j}}+\ddot{z}(t)\,\hat{\mathbf{k}}.

Passo 7

Exemplo curto (para fixar): suponha \dot{x}(t_1)=2, \dot{x}(t_2)=8, \dot{y}(t_1)=0, \dot{y}(t_2)=4, \dot{z}(t_1)=-1, \dot{z}(t_2)=2 e \Delta t=3. Então
\overline{\mathbf{a}}=\frac{(8-2)\,\hat{\mathbf{i}}+(4-0)\,\hat{\mathbf{j}}+(2-(-1))\,\hat{\mathbf{k}}}{3}=\frac{6\,\hat{\mathbf{i}}+4\,\hat{\mathbf{j}}+3\,\hat{\mathbf{k}}}{3}=2\,\hat{\mathbf{i}}+\tfrac{4}{3}\,\hat{\mathbf{j}}+1\,\hat{\mathbf{k}}.
Isso mostra como aplicar a fórmula na prática: calcula-se a variação de cada componente da velocidade e divide-se pelo intervalo de tempo.

Resposta

\overline{\mathbf{a}}=\frac{\mathbf{v}(t_2)-\mathbf{v}(t_1)}{t_2-t_1} =\left(\frac{\dot{x}(t_2)-\dot{x}(t_1)}{t_2-t_1}\right)\hat{\mathbf{i}} +\left(\frac{\dot{y}(t_2)-\dot{y}(t_1)}{t_2-t_1}\right)\hat{\mathbf{j}} +\left(\frac{\dot{z}(t_2)-\dot{z}(t_1)}{t_2-t_1}\right)\hat{\mathbf{k}}.

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