Escreva uma expressão que especifique os vetores em coordenadas cartesianas:
Aceleração Vetorial Média no espaço
Obs. Deverá realizar os desenvolvimentos matemáticos
Passo 1
O que o enunciado pede: escrever uma expressão que especifique o vetor “Aceleração Vetorial Média no espaço” em coordenadas cartesianas, e mostrar os desenvolvimentos matemáticos.
Informações e convenções que vamos usar (nenhuma suposição extra do enunciado):
Denotar o vetor posição por \mathbf{r}(t).
Usar os versores cartesianos \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}} para as direções x,y,z.
Considerar dois instantes de tempo t_1 e t_2 com \Delta t = t_2-t_1\neq 0.
A aceleração vetorial média será definida a partir da variação do vetor velocidade no intervalo [t_1,t_2].
Passo 2
Definir o vetor posição em coordenadas cartesianas e as componentes:
x(t) é a componente x da posição (função do tempo).
y(t) é a componente y da posição.
z(t) é a componente z da posição.
Explicação rápida do que isso significa: o objeto no espaço tem suas coordenadas (x(t),y(t),z(t)) em cada instante t. O vetor posição junta essas três informações numa única entidade vetorial, usando os vetores unitários das direções cartesiana.
Passo 3
Definir o vetor velocidade (média/instantânea) a partir da posição. A definição usada aqui é a velocidade instantânea como derivada da posição:
Mas para a aceleração média vamos trabalhar com a variação da velocidade.
Passo 4
Definir a aceleração vetorial média. Por definição, a aceleração média no intervalo [t_1,t_2] é a razão entre a variação do vetor velocidade e o intervalo de tempo:
Agora escrevemos as componentes dessa expressão em coordenadas cartesianas. Substituindo \mathbf{v}(t)=\dot{x}(t)\,\hat{\mathbf{i}}+\dot{y}(t)\,\hat{\mathbf{j}}+\dot{z}(t)\,\hat{\mathbf{k}} obtemos:
Interpretação prática: cada componente da aceleração média é simplesmente a variação média da respectiva componente da velocidade ao longo do intervalo de tempo.
Passo 6
Relacionando com a posição (se quiser expressar tudo a partir de \mathbf{r}(t)): cada \dot{x}(t_i) é \dfrac{dx}{dt}\big|_{t=t_i}. Portanto a componente x da aceleração média pode ser escrita como