Escreva uma expressão que especifique os vetores em coordenadas cartesianas:
Velocidade Vetorial Média no espaço
Obs. Deverá realizar os desenvolvimentos matemáticos

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva uma expressão que especifique os vetores em coordenadas cartesianas para a Velocidade Vetorial Média no espaço.
Informações que vou usar (são as usuais para esse tipo de problema):
  • A posição de uma partícula no espaço é dada por um vetor posição em coordenadas cartesianas \mathbf{r}(t).
  • Vou considerar dois instantes de tempo distintos t_1 e t_2 com t_2>t_1.
  • A tarefa é obter a expressão da velocidade vetorial média entre esses dois instantes, escrita nas componentes cartesianas.

Passo 2

Definição do vetor posição em coordenadas cartesianas e o conceito de deslocamento.
Escrevo o vetor posição em função do tempo na base cartesiana:
\mathbf{r}(t)=x(t)\,\hat{\mathbf{i}}+y(t)\,\hat{\mathbf{j}}+z(t)\,\hat{\mathbf{k}},
onde:
  • \,x(t),\,y(t),\,z(t)\, são as componentes escalares da posição ao longo dos eixos x,y,z;
  • \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}} são os vetores unitários das direções x,y,z.
O deslocamento entre t_1 e t_2 é o vetor diferença
\Delta\mathbf{r}=\mathbf{r}(t_2)-\mathbf{r}(t_1).
Substituindo as componentes:
\Delta\mathbf{r}=\bigl(x(t_2)-x(t_1)\bigr)\hat{\mathbf{i}}+\bigl(y(t_2)-y(t_1)\bigr)\hat{\mathbf{j}}+\bigl(z(t_2)-z(t_1)\bigr)\hat{\mathbf{k}}.

Passo 3

Definição da velocidade vetorial média e interpretação matemática.
A velocidade vetorial média \bar{\mathbf{v}} no intervalo de tempo \Delta t=t_2-t_1 é definida como o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo:
\bar{\mathbf{v}}=\frac{\Delta\mathbf{r}}{\Delta t}.
Essa operação significa que cada componente do vetor deslocamento é dividida pelo mesmo escalar \Delta t, gerando as componentes da velocidade média.

Passo 4

Escrevo explicitamente as componentes da velocidade média e explico o significado delas.
A expressão componente a componente fica:
\bar{v}_x=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1},\qquad \bar{v}_y=\frac{y(t_2)-y(t_1)}{t_2-t_1},\qquad \bar{v}_z=\frac{z(t_2)-z(t_1)}{t_2-t_1}.
Fisicamente:
  • \bar{v}_x é a variação média da coordenada x por unidade de tempo no intervalo;
  • idem para \bar{v}_y e \bar{v}_z.
Posso também escrever a velocidade média na forma vetorial cartesiana:
\bar{\mathbf{v}} =\frac{\bigl(x(t_2)-x(t_1)\bigr)\hat{\mathbf{i}}+\bigl(y(t_2)-y(t_1)\bigr)\hat{\mathbf{j}}+\bigl(z(t_2)-z(t_1)\bigr)\hat{\mathbf{k}}}{t_2-t_1}.

Passo 5

Forma matricial/coluna (útil em cálculos) e observação sobre o limite para velocidade instantânea.
A mesma expressão em forma de coluna de componentes:
\bar{\mathbf{v}}= \begin{pmatrix} \bar{v}_x\\[4pt] \bar{v}_y\\[4pt] \bar{v}_z \end{pmatrix} = \frac{1}{t_2-t_1} \begin{pmatrix} x(t_2)-x(t_1)\\[4pt] y(t_2)-y(t_1)\\[4pt] z(t_2)-z(t_1) \end{pmatrix}.
Se for interessante na prova lembrar a conexão com a velocidade instantânea: tomando o limite \Delta t\to0 obtém-se a velocidade instantânea
\mathbf{v}(t)=\lim_{t_2\to t_1}\bar{\mathbf{v}}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\dot{x}(t)\,\hat{\mathbf{i}}+\dot{y}(t)\,\hat{\mathbf{j}}+\dot{z}(t)\,\hat{\mathbf{k}}.]

Passo 6

Exemplo numérico curtinho (para fixar a ideia).
Suponha \,x(t)=2t,\;y(t)=t^2,\;z(t)=3 e escolha t_1=1,\;t_2=3. Então:
x(t_1)=2,\;x(t_2)=6\quad\Rightarrow\quad\Delta x=4,
y(t_1)=1,\;y(t_2)=9\quad\Rightarrow\quad\Delta y=8,
z(t_1)=3,\;z(t_2)=3\quad\Rightarrow\quad\Delta z=0,
\Delta t=2.
Logo as componentes médias são
\bar{v}_x=\frac{4}{2}=2,\quad \bar{v}_y=\frac{8}{2}=4,\quad \bar{v}_z=\frac{0}{2}=0,
e a velocidade média vetorial é
\bar{\mathbf{v}}=2\,\hat{\mathbf{i}}+4\,\hat{\mathbf{j}}+0\,\hat{\mathbf{k}}.

Resposta

\bar{\mathbf{v}}=\frac{\Delta\mathbf{r}}{\Delta t} =\frac{\bigl(x(t_2)-x(t_1)\bigr)\hat{\mathbf{i}}+\bigl(y(t_2)-y(t_1)\bigr)\hat{\mathbf{j}}+\bigl(z(t_2)-z(t_1)\bigr)\hat{\mathbf{k}}}{t_2-t_1}

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