use os resultados do exercício indicado para provar que o valor da integral de linha dada é independente do caminho. Depois calcule a integral de linha aplicando o Teorema 19.3.1 ou o Teorema 19.3.2 e utilizando a função potencial determinada no exercício citado. Em cada exercício, C é qualquer curva lisa por partes que vai do ponto A ao ponto B.
\int_{C}(\operatorname{tg} y+2 x y \operatorname{sec} z) d x+\left(x \operatorname{sec} ^{2} y+x^{2} \operatorname{sec} z\right) d y+\operatorname{sec} z\left(x^{2} y \operatorname{tg} z-\operatorname{sec} z\right) d z ; A é \left(2, \frac{1}{4} \pi, 0\right) e B é (3, \pi, \pi); Exercício 10

Passo 1

O enunciado nos dá a integral de linha sobre uma curva C, com campo de forma diferencial cujas componentes (em ordem dx,dy,dz) são:
P(x,y,z)=\tan y+2xy\operatorname{sec} z, \qquad Q(x,y,z)=x\operatorname{sec}^{2}y+x^{2}\operatorname{sec} z, \qquad R(x,y,z)=\operatorname{sec} z\,(x^{2}y\tan z-\operatorname{sec} z).
Os pontos extremos são A=(2,\tfrac{\pi}{4},0) e B=(3,\pi,\pi). A curva C é “qualquer curva lisa por partes” que vai de A a B.
O que o exercício pede:
  • Provar que o valor da integral de linha é independente do caminho (i.e., o campo é conservativo num domínio adequado);
  • Calcular a integral de linha aplicando o teorema que reduz integral de linha de um campo gradiente à diferença da função potencial entre extremos, usando a função potencial obtida no exercício citado.
Observação (importante): as funções \operatorname{sec} z e \tan z têm singularidades quando \cos z=0, isto é em z=\tfrac{\pi}{2}+k\pi. Portanto as componentes do campo não estão definidas nessas superfícies. A independência de caminho que provaremos vale em qualquer domínio aberto e simplesmente conexo que não intersecte essas superfícies (ou seja, em qualquer “faixa” em z entre duas dessas superfícies). Vamos comentar sobre a localização de A e B em relação a isto mais adiante.

Passo 2

Critério prático para um campo vetorial tridimensional \mathbf{F}=(P,Q,R) ser conservativo (i.e., existir potencial \varphi com \nabla\varphi=\mathbf{F}) numa região aberta simplesmente conexa onde P,Q,R são C^1: as derivadas cruzadas devem coincidir:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\qquad \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}.
Vou calcular essas derivadas parciais passo a passo.
Começando por \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como P=\tan y+2xy\operatorname{sec} z,
\frac{\partial P}{\partial y}=\operatorname{sec}^{2}y + 2x\operatorname{sec} z,
porque \dfrac{d}{dy}\tan y=\operatorname{sec}^{2}y e \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy\operatorname{sec} z)=2x\operatorname{sec} z (aqui \operatorname{sec} z é tratada como constante ao derivar em y).
Agora \dfrac{\partial Q}{\partial x} com Q=x\operatorname{sec}^{2}y+x^{2}\operatorname{sec} z:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\operatorname{sec}^{2}y + 2x\operatorname{sec} z,
pois \dfrac{\partial}{\partial x}(x\operatorname{sec}^{2}y)=\operatorname{sec}^{2}y e \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}\operatorname{sec} z)=2x\operatorname{sec} z.
Portanto
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=\operatorname{sec}^{2}y+2x\operatorname{sec} z.

Passo 3

Calcule \dfrac{\partial P}{\partial z}. Lembrando P=\tan y+2xy\operatorname{sec} z, somente a segunda parcela depende de z:
\frac{\partial P}{\partial z}=2xy\frac{d}{dz}\operatorname{sec} z=2xy\operatorname{sec} z\tan z,
porque \dfrac{d}{dz}\operatorname{sec} z=\operatorname{sec} z\tan z.
Agora \dfrac{\partial R}{\partial x}. Primeiro reescrevemos R explicitamente:
R=\operatorname{sec} z\,(x^{2}y\tan z-\operatorname{sec} z)=x^{2}y\operatorname{sec} z\tan z-\operatorname{sec}^{2}z.
Derivando em relação a x (tratando y,z como constantes):
\frac{\partial R}{\partial x}=2x y\operatorname{sec} z\tan z.
Logo
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x}=2xy\operatorname{sec} z\tan z.

Passo 4

Calcule \dfrac{\partial Q}{\partial z} e \dfrac{\partial R}{\partial y}. Com Q=x\operatorname{sec}^{2}y+x^{2}\operatorname{sec} z, somente o termo x^{2}\operatorname{sec} z depende de z:
\frac{\partial Q}{\partial z}=x^{2}\frac{d}{dz}\operatorname{sec} z = x^{2}\operatorname{sec} z\tan z.
Para \dfrac{\partial R}{\partial y}, usando R=x^{2}y\operatorname{sec} z\tan z-\operatorname{sec}^{2}z, somente o primeiro termo depende de y:
\frac{\partial R}{\partial y}=x^{2}\operatorname{sec} z\tan z.
Assim
\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}=x^{2}\operatorname{sec} z\tan z.

Passo 5

Concluímos, pelas igualdades verificadas em Passos 2, 3 e 4, que as três condições de igualdade das derivadas cruzadas são satisfeitas em qualquer ponto onde P,Q,R são C^1 (ou seja, onde \operatorname{sec} z e \tan z são bem definidas). Portanto \mathbf{F}=(P,Q,R) é conservativo em qualquer região aberta simplesmente conexa contida no conjunto \{(x,y,z):\cos z\ne0\}. Isso prova a independência do caminho da integral de linha sempre que a curva C ficar inteiramente dentro de tal região (ou seja, não atravessar planos z=\tfrac{\pi}{2}+k\pi).
Comentário sobre os pontos A e B: A tem coordenada z_A=0 (faixa com -\tfrac{\pi}{2}<z<\tfrac{\pi}{2}) e B tem z_B=\pi (faixa com \tfrac{\pi}{2}<z<\tfrac{3\pi}{2}). Essas duas faixas são separadas pela superfície z=\tfrac{\pi}{2} onde o campo não está definido; portanto não existe curva contínua de A a B que permaneça inteiramente dentro de uma mesma faixa sem cruzar a singularidade. Assim, rigorosamente, não existe curva C conectando A a B que mantenha o campo definido em todos os pontos — o que tornaria a integral impossível de definir para tais curvas. No entanto, muitos exercícios acadêmicos pedem que se aplique o teorema do gradiente avaliando a função potencial nos extremos (assumindo que existe uma curva admissível dentro do domínio). Seguirei esse procedimento (como é pedido: “usar a função potencial determinada no exercício citado”) e calcularei a diferença de potencial entre B e A. Abaixo mostro como obter a função potencial explicitamente.

Passo 6

Vamos determinar uma potencial \varphi(x,y,z) tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=Q,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=R.
Integramos P em relação a x:
\varphi(x,y,z)=\int\big(\tan y+2xy\operatorname{sec} z\big)\,dx = x\tan y + x^{2}y\operatorname{sec} z + h(y,z),
onde h(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.

Passo 7

Agora impomos que \partial\varphi/\partial y=Q. Calculamos \partial\varphi/\partial y a partir da expressão acima:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=x\operatorname{sec}^{2}y + x^{2}\operatorname{sec} z + \frac{\partial h}{\partial y}.
Igualando a Q=x\operatorname{sec}^{2}y+x^{2}\operatorname{sec} z obtemos \dfrac{\partial h}{\partial y}=0. Logo h depende apenas de z: h(y,z)=g(z).
Em seguida impomos \partial\varphi/\partial z=R. Calculamos com h=g(z):
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=x^{2}y\operatorname{sec} z\tan z + g'(z).
Igualando a R=x^{2}y\operatorname{sec} z\tan z - \operatorname{sec}^{2}z obtemos
g'(z)=-\operatorname{sec}^{2}z.
Integrando em z:
g(z)=-\tan z + C,
onde C é constante absoluta (que podemos tomar zero).
Portanto uma função potencial é
\varphi(x,y,z)=x\tan y + x^{2}y\operatorname{sec} z - \tan z.
(qualquer \varphi+C também serve; o C cancela na diferença entre extremos.)

Passo 8

Agora usamos a função potencial para avaliar nos pontos finais. Primeiro \varphi em B=(3,\pi,\pi):
calculemos as funções trigonométricas necessárias:
\tan\pi=0, \operatorname{sec}\pi=\dfrac{1}{\cos\pi}=-1.
Assim
\varphi(3,\pi,\pi)=3\cdot\tan\pi + 3^{2}\cdot\pi\cdot\operatorname{sec}\pi - \tan\pi =0 + 9\pi\cdot(-1) - 0 = -9\pi.
Em A=(2,\tfrac{\pi}{4},0):
\tan\tfrac{\pi}{4}=1, \operatorname{sec} 0=1, \tan 0=0. Assim
\varphi\!\left(2,\tfrac{\pi}{4},0\right)=2\cdot 1 + 2^{2}\cdot\frac{\pi}{4}\cdot 1 - 0 =2 + 4\cdot\frac{\pi}{4}=2+\pi.

Passo 9

Pelo Teorema do Gradiente (Teorema 19.3.1/19.3.2 referidos), quando \mathbf{F}=\nabla\varphi numa região onde C esteja contida, a integral de linha de \mathbf{F} ao longo de C de A a B é \varphi(B)-\varphi(A). Usando os valores calculados em Passo 8:
\varphi(B)=-9\pi,\qquad \varphi(A)=\pi+2.
A diferença \varphi(B)-\varphi(A) será a resposta final (coloco o valor final apenas na seção de resposta, conforme pedido).

Resposta

-10\pi - 2

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