use os resultados do exercício indicado para provar que o valor da integral de linha dada é independente do caminho. Depois calcule a integral de linha aplicando o Teorema 19.3.1 ou o Teorema 19.3.2 e utilizando a função potencial determinada no exercício citado. Em cada exercício,
é qualquer curva lisa por partes que vai do ponto
ao ponto
.
é
e
é
; Exercício 10
Passo 1
O enunciado nos dá a integral de linha sobre uma curva
, com campo de forma diferencial cujas componentes (em ordem
) são:
Os pontos extremos são
e
. A curva
é “qualquer curva lisa por partes” que vai de
a
.
O que o exercício pede:
O que o exercício pede:
- Provar que o valor da integral de linha é independente do caminho (i.e., o campo é conservativo num domínio adequado);
- Calcular a integral de linha aplicando o teorema que reduz integral de linha de um campo gradiente à diferença da função potencial entre extremos, usando a função potencial obtida no exercício citado.
Observação (importante): as funções
e
têm singularidades quando
, isto é em
. Portanto as componentes do campo não estão definidas nessas superfícies. A independência de caminho que provaremos vale em qualquer domínio aberto e simplesmente conexo que não intersecte essas superfícies (ou seja, em qualquer “faixa” em
entre duas dessas superfícies). Vamos comentar sobre a localização de
e
em relação a isto mais adiante.
Passo 2
Critério prático para um campo vetorial tridimensional
ser conservativo (i.e., existir potencial
com
) numa região aberta simplesmente conexa onde
são
: as derivadas cruzadas devem coincidir:
Vou calcular essas derivadas parciais passo a passo.
Começando por
. Como
,
porque
e
(aqui
é tratada como constante ao derivar em
).
Agora
com
:
pois
e
.
Portanto
Passo 3
Calcule
. Lembrando
, somente a segunda parcela depende de
:
porque
.
Agora
. Primeiro reescrevemos
explicitamente:
Derivando em relação a
(tratando
como constantes):
Logo
Passo 4
Calcule
e
. Com
, somente o termo
depende de
:
Para
, usando
, somente o primeiro termo depende de
:
Assim
Passo 5
Concluímos, pelas igualdades verificadas em Passos 2, 3 e 4, que as três condições de igualdade das derivadas cruzadas são satisfeitas em qualquer ponto onde
são
(ou seja, onde
e
são bem definidas). Portanto
é conservativo em qualquer região aberta simplesmente conexa contida no conjunto
. Isso prova a independência do caminho da integral de linha sempre que a curva
ficar inteiramente dentro de tal região (ou seja, não atravessar planos
).
Comentário sobre os pontos
e
:
tem coordenada
(faixa com
) e
tem
(faixa com
). Essas duas faixas são separadas pela superfície
onde o campo não está definido; portanto não existe curva contínua de
a
que permaneça inteiramente dentro de uma mesma faixa sem cruzar a singularidade. Assim, rigorosamente, não existe curva
conectando
a
que mantenha o campo definido em todos os pontos — o que tornaria a integral impossível de definir para tais curvas. No entanto, muitos exercícios acadêmicos pedem que se aplique o teorema do gradiente avaliando a função potencial nos extremos (assumindo que existe uma curva admissível dentro do domínio). Seguirei esse procedimento (como é pedido: “usar a função potencial determinada no exercício citado”) e calcularei a diferença de potencial entre
e
. Abaixo mostro como obter a função potencial explicitamente.
Passo 6
Vamos determinar uma potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
Passo 7
Agora impomos que
. Calculamos
a partir da expressão acima:
Igualando a
obtemos
. Logo
depende apenas de
:
.
Em seguida impomos
. Calculamos com
:
Igualando a
obtemos
Integrando em
:
onde
é constante absoluta (que podemos tomar zero).
Portanto uma função potencial é
(qualquer
também serve; o
cancela na diferença entre extremos.)
Passo 8
Agora usamos a função potencial para avaliar nos pontos finais. Primeiro
em
:
calculemos as funções trigonométricas necessárias:
,
.
Assim
calculemos as funções trigonométricas necessárias:
Assim
Em
:
,
,
. Assim
Passo 9
Pelo Teorema do Gradiente (Teorema 19.3.1/19.3.2 referidos), quando
numa região onde
esteja contida, a integral de linha de
ao longo de
de
a
é
. Usando os valores calculados em Passo 8:
A diferença
será a resposta final (coloco o valor final apenas na seção de resposta, conforme pedido).