use os resultados do exercício indicado para provar que o valor da integral de linha dada é independente do caminho. Depois calcule a integral de linha aplicando o Teorema 19.3.1 ou o Teorema 19.3.2 e utilizando a função potencial determinada no exercício citado. Em cada exercício,
é qualquer curva lisa por partes que vai do ponto
ao ponto
.
;
é (
) e
é
; Exercício 8
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: provar que o valor da integral de linha
é independente do caminho (para qualquer curva lisa por partes
que vá de
a
) e depois calcular essa integral usando um teorema de integrais de linha (Teorema 19.3.1 ou 19.3.2) e a função potencial obtida no exercício indicado. Os pontos são
As componentes da forma diferencial (ou do campo vetorial) são
O objetivo é: (i) mostrar independência de caminho (ou seja, o campo é conservativo num domínio adequado) e (ii) calcular a integral explicitamente.
Passo 2
Explicação do critério que vamos usar (aula rápida e prática).
- Se um campo vetorial
é gradiente de alguma função (isto é, ), então a integral de linha de entre dois pontos é independente do caminho e vale . Este é o conteúdo do teorema fundamental das integrais de linha (Teorema 19.3.1/19.3.2). - Uma forma prática de testar se
é gradiente num domínio simplesmente conexo é verificar que o rotacional (curl) é nulo, isto é, que as igualdades das derivadas parciais mistas ocorrem:
- Observação sobre domínio:
é simplesmente conexo, então se o curl for zero em todo temos campo conservativo globalmente.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais mistas para testar o curl.
- Calcular
:
- Calcular
:
Logo
.
- Calcular
:
- Calcular
:
Logo
.
- Calcular
:
- Calcular
:
Logo
.
Passo 4
Conclusão sobre independência de caminho.
- Como todas as três igualdades acima foram verificadas, o rotacional de
é nulo em todo . - Como
é simplesmente conexo, isso implica que é um campo conservativo: existe uma função potencial tal que . - Portanto a integral de linha dada é independente do caminho: para qualquer curva
de a ,
(Pronto: provado a independência do caminho.)
Passo 5
Encontrar a função potencial
integrando componente a componente (método padrão).
- Começar integrando
em relação a :
onde
é uma função arbitrária de
e
(constante de integração em relação a
).
Passo 6
Determinar
usando
.
- Calcular
a partir da expressão obtida:
- Igualar a
:
- Integrar em
:
onde
é uma função de
apenas.
Passo 7
Determinar
usando
.
- Atualizar
:
- Calcular
:
- Igualar a
:
- Integrar em
:
onde
é constante arbitrária (que não altera diferenças
).
- Assim uma função potencial conveniente é
(assumindo
para simplicidade).
Passo 8
Aplicar o teorema fundamental das integrais de linha e calcular
.
- Calcular
em :
Fazendo as contas passo a passo:
Somando:
- Calcular
em :
- Portanto, pela propriedade de campo conservativo,
Resposta
13