use os resultados do exercício indicado para provar que o valor da integral de linha dada é independente do caminho. Depois calcule a integral de linha aplicando o Teorema 19.3.1 ou o Teorema 19.3.2 e utilizando a função potencial determinada no exercício citado. Em cada exercício, C é qualquer curva lisa por partes que vai do ponto A ao ponto B.
\int_{C}\left(2 y^{3}-8 x z^{2}\right) d x+\left(6 x y^{2}+1\right) d y-\left(8 x^{2} z+3 z^{2}\right) d z; A é ( 2,0,0 ) e B é (3,2,1); Exercício 8

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: provar que o valor da integral de linha
\int_{C}\left(2 y^{3}-8 x z^{2}\right)\,d x+\left(6 x y^{2}+1\right)\,d y-\left(8 x^{2} z+3 z^{2}\right)\,d z
é independente do caminho (para qualquer curva lisa por partes C que vá de A a B) e depois calcular essa integral usando um teorema de integrais de linha (Teorema 19.3.1 ou 19.3.2) e a função potencial obtida no exercício indicado. Os pontos são
A=(2,0,0),\qquad B=(3,2,1).
As componentes da forma diferencial (ou do campo vetorial) são
P(x,y,z)=2 y^{3}-8 x z^{2},
Q(x,y,z)=6 x y^{2}+1,
R(x,y,z)=-\bigl(8 x^{2} z+3 z^{2}\bigr).
O objetivo é: (i) mostrar independência de caminho (ou seja, o campo é conservativo num domínio adequado) e (ii) calcular a integral explicitamente.

Passo 2

Explicação do critério que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Se um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R) é gradiente de alguma função \varphi (isto é, \mathbf{F}=\nabla\varphi), então a integral de linha de \mathbf{F} entre dois pontos é independente do caminho e vale \varphi(B)-\varphi(A). Este é o conteúdo do teorema fundamental das integrais de linha (Teorema 19.3.1/19.3.2).
  • Uma forma prática de testar se \mathbf{F} é gradiente num domínio simplesmente conexo é verificar que o rotacional (curl) é nulo, isto é, que as igualdades das derivadas parciais mistas ocorrem:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\qquad \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}.
  • Observação sobre domínio: \mathbb{R}^3 é simplesmente conexo, então se o curl for zero em todo \mathbb{R}^3 temos campo conservativo globalmente.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais mistas para testar o curl.
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2 y^{3}-8 x z^{2}\bigr)=6 y^{2}.
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x}:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(6 x y^{2}+1\bigr)=6 y^{2}.
Logo \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}.
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial z}:
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(2 y^{3}-8 x z^{2}\bigr)=-16 x z.
  • Calcular \dfrac{\partial R}{\partial x}:
\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-8 x^{2} z-3 z^{2}\bigr)=-16 x z.
Logo \dfrac{\partial P}{\partial z}=\dfrac{\partial R}{\partial x}.
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial z}:
\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(6 x y^{2}+1\bigr)=0.
  • Calcular \dfrac{\partial R}{\partial y}:
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-8 x^{2} z-3 z^{2}\bigr)=0.
Logo \dfrac{\partial Q}{\partial z}=\dfrac{\partial R}{\partial y}.

Passo 4

Conclusão sobre independência de caminho.
  • Como todas as três igualdades acima foram verificadas, o rotacional de \mathbf{F} é nulo em todo \mathbb{R}^3.
  • Como \mathbb{R}^3 é simplesmente conexo, isso implica que \mathbf{F} é um campo conservativo: existe uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=(P,Q,R).
  • Portanto a integral de linha dada é independente do caminho: para qualquer curva C de A a B,
\int_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\varphi(B)-\varphi(A).
(Pronto: provado a independência do caminho.)

Passo 5

Encontrar a função potencial \varphi integrando componente a componente (método padrão).
  • Começar integrando \varphi_x=P em relação a x:
\varphi_x=2 y^{3}-8 x z^{2}\quad\Longrightarrow\quad \varphi(x,y,z)=\int\bigl(2 y^{3}-8 x z^{2}\bigr)\,dx=2 x y^{3}-4 x^{2} z^{2}+h(y,z),
onde h(y,z) é uma função arbitrária de y e z (constante de integração em relação a x).

Passo 6

Determinar h(y,z) usando \varphi_y=Q.
  • Calcular \varphi_y a partir da expressão obtida:
\varphi_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2 x y^{3}-4 x^{2} z^{2}+h(y,z)\bigr)=6 x y^{2}+h_y(y,z).
  • Igualar a Q:
6 x y^{2}+h_y(y,z)=6 x y^{2}+1\quad\Longrightarrow\quad h_y(y,z)=1.
  • Integrar em y:
h(y,z)=\int 1\,dy = y+g(z),
onde g(z) é uma função de z apenas.

Passo 7

Determinar g(z) usando \varphi_z=R.
  • Atualizar \varphi:
\varphi(x,y,z)=2 x y^{3}-4 x^{2} z^{2}+y+g(z).
  • Calcular \varphi_z:
\varphi_z=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(2 x y^{3}-4 x^{2} z^{2}+y+g(z)\bigr)=-8 x^{2} z+g'(z).
  • Igualar a R:
-8 x^{2} z+g'(z)=-8 x^{2} z-3 z^{2}\quad\Longrightarrow\quad g'(z)=-3 z^{2}.
  • Integrar em z:
g(z)=\int -3 z^{2}\,dz=-z^{3}+C,
onde C é constante arbitrária (que não altera diferenças \varphi(B)-\varphi(A)).
  • Assim uma função potencial conveniente é
\varphi(x,y,z)=2 x y^{3}-4 x^{2} z^{2}+y-z^{3}
(assumindo C=0 para simplicidade).

Passo 8

Aplicar o teorema fundamental das integrais de linha e calcular \varphi(B)-\varphi(A).
  • Calcular \varphi em B=(3,2,1):
\varphi(3,2,1)=2\cdot 3\cdot 2^{3}-4\cdot 3^{2}\cdot 1^{2}+2-1^{3}.
Fazendo as contas passo a passo:
2\cdot 3\cdot 2^{3}=2\cdot 3\cdot 8=48,
-4\cdot 3^{2}\cdot 1^{2}=-4\cdot 9=-36,
+2-1=1.
Somando: \varphi(3,2,1)=48-36+1=13.
  • Calcular \varphi em A=(2,0,0):
\varphi(2,0,0)=2\cdot 2\cdot 0^{3}-4\cdot 2^{2}\cdot 0^{2}+0-0^{3}=0.
  • Portanto, pela propriedade de campo conservativo,
\int_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\varphi(B)-\varphi(A)=13-0=13.

Resposta

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