3.2 Escreva a expressão para a incerteza padrão
da densidade.
Passo 1
O que o enunciado pede: escrever a expressão para a incerteza padrão
da densidade.
Informações implícitas que vamos usar (assuma-se que são as dadas no problema): a densidade é calculada por , onde
é a massa medida com incerteza padrão
e
é o volume medido com incerteza padrão
.
Observação importante (só identificando dados): pode haver correlação entre e
; se não for indicada, assumimos que são independentes (covariância nula). A resolução só começa no Passo 2.
Informações implícitas que vamos usar (assuma-se que são as dadas no problema): a densidade é calculada por
Observação importante (só identificando dados): pode haver correlação entre
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: propagação de incertezas por aproximação linear (expansão de Taylor de primeira ordem). Para uma função
com incertezas em
e
, a variância aproximada de
é dada por
Expliquei cada parte:
e
são derivadas parciais de
;
e
são as incertezas-padrão das variáveis;
é a covariância entre
e
. Se
e
forem independentes,
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso
. Primeiro calculamos as derivadas parciais:
Pequena explicação: a derivada de
em relação a
trata
como constante, então dá
. A derivada em relação a
usa a regra do quociente (ou vê-se como
), resultando em
.
Passo 4
Substituímos as derivadas na fórmula de propagação geral:
Simplificando os sinais e termos,
Isto é a expressão geral, válida mesmo se
e
forem correlacionados.
Passo 5
Caso mais comum em exercícios de laboratório:
e
são independentes, então
. Nesse caso a expressão simplifica para
Explicação didática: o primeiro termo vem da incerteza da massa propagada pela sensibilidade
; o segundo vem da incerteza do volume propagada pela sensibilidade
(o sinal negativo some porque elevamos ao quadrado).
Passo 6
Forma alternativa, muitas vezes mais prática (forma relativa): fatorando
da expressão anterior, obtemos
válida quando
. Interpretação: a incerteza relativa de
é a soma raiz-quadrada das incertezas relativas de
e de
.
Passo 7
Comentário final e aplicação rápida (motivacional): agora você já tem a expressão geral (com covariância) e a expressão prática para variáveis independentes. Na prova, identifique primeiro se há indicação de correlação; se não houver, use a forma simplificada ou a forma relativa — elas são rápidas de aplicar e fáceis de calcular sem calculadora para estimativas rápidas. Força aí, você consegue!