3.2 Escreva a expressão para a incerteza padrão u(\rho) da densidade.

Passo 1

O que o enunciado pede: escrever a expressão para a incerteza padrão u(\rho) da densidade.
Informações implícitas que vamos usar (assuma-se que são as dadas no problema): a densidade é calculada por \rho=\dfrac{m}{V}, onde m é a massa medida com incerteza padrão u(m) e V é o volume medido com incerteza padrão u(V).
Observação importante (só identificando dados): pode haver correlação entre m e V; se não for indicada, assumimos que são independentes (covariância nula). A resolução só começa no Passo 2.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: propagação de incertezas por aproximação linear (expansão de Taylor de primeira ordem). Para uma função f(x,y) com incertezas em x e y, a variância aproximada de f é dada por
u(f)^2=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}u(x)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}u(y)^{2}+2\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}\,\mathrm{cov}(x,y).
Expliquei cada parte: \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} são derivadas parciais de f; u(x) e u(y) são as incertezas-padrão das variáveis; \mathrm{cov}(x,y) é a covariância entre x e y. Se x e y forem independentes, \mathrm{cov}(x,y)=0.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso \rho=\dfrac{m}{V}. Primeiro calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial \rho}{\partial m}=\frac{1}{V}, \qquad \frac{\partial \rho}{\partial V}=-\frac{m}{V^{2}}.
Pequena explicação: a derivada de m/V em relação a m trata V como constante, então dá 1/V. A derivada em relação a V usa a regra do quociente (ou vê-se como m\cdot V^{-1}), resultando em -mV^{-2}.

Passo 4

Substituímos as derivadas na fórmula de propagação geral:
u(\rho)^2=\left(\frac{1}{V}\right)^{2}u(m)^{2}+\left(-\frac{m}{V^{2}}\right)^{2}u(V)^{2}+2\left(\frac{1}{V}\right)\left(-\frac{m}{V^{2}}\right)\mathrm{cov}(m,V).
Simplificando os sinais e termos,
u(\rho)^2=\frac{u(m)^{2}}{V^{2}}+\frac{m^{2}\,u(V)^{2}}{V^{4}}-\frac{2m}{V^{3}}\mathrm{cov}(m,V).
Isto é a expressão geral, válida mesmo se m e V forem correlacionados.

Passo 5

Caso mais comum em exercícios de laboratório: m e V são independentes, então \mathrm{cov}(m,V)=0. Nesse caso a expressão simplifica para
u(\rho)=\sqrt{\left(\frac{u(m)}{V}\right)^{2}+\left(\frac{m\,u(V)}{V^{2}}\right)^{2}}.
Explicação didática: o primeiro termo vem da incerteza da massa propagada pela sensibilidade 1/V; o segundo vem da incerteza do volume propagada pela sensibilidade -m/V^{2} (o sinal negativo some porque elevamos ao quadrado).

Passo 6

Forma alternativa, muitas vezes mais prática (forma relativa): fatorando \rho=\dfrac{m}{V} da expressão anterior, obtemos
u(\rho)=\rho\sqrt{\left(\frac{u(m)}{m}\right)^{2}+\left(\frac{u(V)}{V}\right)^{2}},
válida quando \mathrm{cov}(m,V)=0. Interpretação: a incerteza relativa de \rho é a soma raiz-quadrada das incertezas relativas de m e de V.

Passo 7

Comentário final e aplicação rápida (motivacional): agora você já tem a expressão geral (com covariância) e a expressão prática para variáveis independentes. Na prova, identifique primeiro se há indicação de correlação; se não houver, use a forma simplificada ou a forma relativa — elas são rápidas de aplicar e fáceis de calcular sem calculadora para estimativas rápidas. Força aí, você consegue!

Resposta

u(\rho)=\sqrt{\left(\frac{u(m)}{V}\right)^{2}+\left(\frac{m\,u(V)}{V^{2}}\right)^{2}}
u(\rho)=\rho\sqrt{\left(\frac{u(m)}{m}\right)^{2}+\left(\frac{u(V)}{V}\right)^{2}}

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