Escreva a expressão matemática de uma corrente de 5 A com uma frequência de 50 Hz considerando, que se inicia no valor zero.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado: "corrente de 5\\ \text{A}" (o enunciado não especifica se é valor de pico ou valor eficaz/RMS).
  • Dado: frequência 50\\ \text{Hz}.
  • Dado: a corrente “se inicia no valor zero”, ou seja, o valor em t=0 é 0.
  • Pedido: escrever a expressão matemática da corrente no tempo i(t).

Passo 2

Qual é a forma matemática típica de uma corrente alternada senoidal?
  • Uma onda senoidal geral pode ser escrita como
i(t)=I_m\sin(\omega t+\varphi),
onde:
  • i(t) é a corrente instantânea (em ampères),
  • I_m é a amplitude de pico (valor máximo) da corrente (em ampères),
  • \omega é a frequência angular (em rad/s),
  • \varphi é a fase inicial (em rad),
  • t é o tempo (em segundos).
Expliquei cada símbolo para você poder ler e montar a expressão na prova sem erro.

Passo 3

Impor a condição “inicia no valor zero” em t=0.
  • A condição é i(0)=0.
  • Pela forma geral,
i(0)=I_m\sin(\varphi)=0.
  • Assim \sin(\varphi)=0, o que implica \varphi=k\pi para algum inteiro k. Os casos mais simples são \varphi=0 ou \varphi=\pi.
  • Diferença prática entre essas duas escolhas:
    • Se \varphi=0, a corrente começa em zero e, se I_m>0, inicia aumentando positivamente (derivada positiva).
    • Se \varphi=\pi, começa em zero e imediatamente vai para valores negativos (derivada negativa).
  • Como o enunciado só disse “inicia no valor zero” sem especificar sentido, a escolha mais natural e simples é \varphi=0 (começa em zero e sobe).

Passo 4

Relacionar frequência f com frequência angular \omega.
  • A relação é
\omega = 2\pi f,
onde f está em hertz (Hz) e \omega em rad/s.
  • Substituindo f=50\\ \text{Hz},
\omega = 2\pi\cdot 50 = 100\pi\\ \text{rad/s}.

Passo 5

Escolher o significado de "corrente de 5\\ \text{A}".
  • Se o enunciado quis dizer amplitude (pico), então I_m=5.
  • Se, em aplicações elétricas, o autor quis dizer valor eficaz (RMS) I_{\text{rms}}=5, a amplitude de pico é I_m= \sqrt{2}\,I_{\text{rms}} = 5\sqrt{2}.
  • Como não foi especificado, e para manter a resposta direta e simples, adotamos a interpretação mais direta: 5\\ \text{A} como amplitude de pico, ou seja I_m=5.

Passo 6

Reunindo tudo (sem repetir exatamente a linha final aqui): com I_m=5, \omega=100\pi e \varphi=0 a forma senoidal que inicia em zero está definida; se a corrente de 5\\ \text{A} fosse RMS, bastaria substituir I_m por 5\sqrt{2}.

Resposta

i(t)=5\sin\bigl(100\pi\,t\bigr)\\ \text{A}

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