Escreva por extenso a expressão Ri j k i para um espaço de dimensão 4. Quais índices são mudos e quais livres? Quantos somatórios há?

Passo 1

O enunciado pede para escrever por extenso a componente
;R,i j k i
num espaço de dimensão 4, usando a convenção de soma de Einstein. Vamos precisar lembrar que, sempre que um índice se repete, implicita-se uma soma sobre ele de 1 até 4.

Passo 2

Pela convenção de Einstein temos
R,i j k i ;=;sumi=1^4R,i j k i
Logo, por extenso, fica
R,1 j k 1 ;+;R,2 j k 2;+;R,3 j k 3;+;R,4 j k 4

Passo 3

O índice i aparece duas vezes e está sendo somado: ele é um índice mudo (dummy index).
Os índices j e k aparecem apenas uma vez cada e não são somados: são índices livres.

Passo 4

Como só há repetição do índice i, existe um único somatório implícito.

Resposta

R,i j k i = R,1 j k 1 + R,2 j k 2 + R,3 j k 3 + R,4 j k 4
Índice mudo: i.
Índices livres: j, k.
Número de somatórios: 1.

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