Sejam
e
funções deriváveis no intervalo
. Mostre que,
(2.5 pontos)
Passo 1
O enunciado diz que
e
são funções deriváveis em um intervalo
e pede para mostrar a fórmula de integração por partes
Para isso vamos usar a regra do produto e as propriedades de integração.
Passo 2
Relembre a regra do produto de derivadas: para quaisquer funções
e
deriváveis,
Passo 3
Integramos ambos os lados dessa igualdade indefinida:
Pela linearidade da integral,
onde usamos que
.
Passo 4
Isolando
e absorvendo constantes num único
, obtemos
Basta então notar que
é a mesma coisa que
.