Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I. Mostre que,
integral f(x) g^prime(x) d x=f(x) g(x)-integral g(x) f^prime(x) d x
(2.5 pontos)

Passo 1

O enunciado diz que f e g são funções deriváveis em um intervalo I e pede para mostrar a fórmula de integração por partes
integral f(x),g'(x),dx = f(x),g(x) - integral g(x),f'(x),dx
Para isso vamos usar a regra do produto e as propriedades de integração.

Passo 2

Relembre a regra do produto de derivadas: para quaisquer funções f e g deriváveis,
l(f(x),g(x)r)' = f'(x),g(x) + f(x),g'(x)

Passo 3

Integramos ambos os lados dessa igualdade indefinida:
integral l(f'(x),g(x) + f(x),g'(x)r),dx = integral l(f(x),g(x)r)' ,dx
Pela linearidade da integral,
integral f'(x),g(x),dx + integral f(x),g'(x),dx = f(x),g(x) + C,
onde usamos que integral (f,g)' ,dx = f,g + C.

Passo 4

Isolando integral f(x),g'(x),dx e absorvendo constantes num único C, obtemos
integral f(x),g'(x),dx = f(x),g(x) - integral f'(x),g(x),dx + C
Basta então notar que integral f'(x),g(x),dx é a mesma coisa que integral g(x),f'(x),dx.

Resposta

integral f(x),g'(x),dx = f(x),g(x) - integral g(x),f'(x),dx + C

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