Escreva a forma adequada da regra da cadeia para todas as possíveis derivadas das funções abaixo.
w=H(u(x, y, z), v(x, y, z))

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de w=Hl(u(x,y,z),,v(x,y,z)r) em relação a cada variável x,y,z. O conteúdo aqui é a regra da cadeia em várias variáveis, onde compomos uma função H de duas variáveis com as funções u e v de três variáveis.

Passo 2

Para derivar w em relação a x, aplicamos a regra da cadeia multivariável: derivamos H em relação ao seu primeiro argumento (denotado Hu) multiplicado por partial u/partial x, e somamos com a derivada de H em relação ao segundo argumento (denotado Hv) vezes partial v/partial x.

Passo 3

De modo análogo, para y usamos partial w/partial y=Hu,uy+Hv,vy.

Passo 4

Para z construímos da mesma forma: partial w/partial z=Hu,uz+Hv,vz, onde todos os Hu e Hv são avaliados em (u(x,y,z),v(x,y,z)).

Resposta

partial wpartial x(x,y,z)=Hul(u(x,y,z),v(x,y,z)r),partial upartial x+Hvl(u(x,y,z),v(x,y,z)r),partial vpartial x
partial wpartial y(x,y,z)=Hul(u(x,y,z),v(x,y,z)r),partial upartial y+Hvl(u(x,y,z),v(x,y,z)r),partial vpartial y
partial wpartial z(x,y,z)=Hul(u(x,y,z),v(x,y,z)r),partial upartial z+Hvl(u(x,y,z),v(x,y,z)r),partial vpartial z

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