Decida se cada uma das integrais impróprias abaixo é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral imprópria integral1^+infty dxxl[1+(ln x)^2r] e pede para decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo vai envolver a técnica de substituição em integrais impróprias e o reconhecimento de um arctan no resultado.

Passo 2

Percebemos que a impropriedade está no limite superior, que vai a +∞. Para simplificar o integrando, usamos a substituição t=ln x. Aí temos x=e^t e dx=e^t,dt. Substituindo na integral:
integral1^+infty dxxl[1+(ln x)^2r] = integralt=0^t=+infty e^t,dte^tl(1+t^2r) = integral0^+infty dt1+t^2

Passo 3

Reconhecemos a integral de 1/(1+t^2), cuja primitiva é arctan t. Assim,
integral0^+infty dt1+t^2 = limTto+infty l[arctan T - arctan 0r] = pi2 - 0 = pi2

Passo 4

Como o valor da integral imprópria é finito ( pi/2), concluímos que ela converge.

Resposta

Convergente

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