Decida se cada uma das integrais impróprias abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral imprópria
e pede para decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo vai envolver a técnica de substituição em integrais impróprias e o reconhecimento de um arctan no resultado.
Passo 2
Percebemos que a impropriedade está no limite superior, que vai a +∞. Para simplificar o integrando, usamos a substituição
. Aí temos
e
. Substituindo na integral:
Passo 3
Reconhecemos a integral de
, cuja primitiva é
. Assim,
Passo 4
Como o valor da integral imprópria é finito (
), concluímos que ela converge.
Resposta
Convergente