Use Transformadas de Laplace para resolver os Problemas de valor inicial a seguir.
lt y^prime prime+(1-t) y^prime+2 y=0 ; y(0)=1, y^prime(0)=-2,

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial t y''+(1-t)y'+2y=0 com y(0)=1 e y'(0)=-2 usando transformada de Laplace. Vamos usar propriedades de Ly', Ly'' e de Lt f(t)=-ddsF(s) para transformar a EDO inteira em uma equação em (Y(s)=\mathcal L{y(t)}.

Passo 2

Aplicando a transformada em cada termo, usando Y(s)= Ly(t):
Lt y''=-dds[s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)]=-2sY(s)-s^2Y'(s)+1,
L(1-t)y'= Ly'- Lt y'=(sY(s)-1)+l(Y(s)+sY'(s)r)=Y(s)(s+1)+sY'(s)-1,
L2y=2Y(s)
Somando tudo e igualando a zero resulta em
(-2sY -s^2Y'+1)+l((s+1)Y+sY'-1r)+2Y=0

Passo 3

Coletando termos semelhantes em Y'(s) e Y(s) na equação obtida chega-se a
s(1-s)Y'(s)+(3-s)Y(s)=0
Isso é uma EDO de primeira ordem em Y(s).

Passo 4

Resolvendo por separação de variáveis:
dYY=s-3s(1-s),ds
Fazendo frações parciais, integra-se e obtém-se
ln Y(s)=-3ln s+2ln(1-s)+C
ou seja
Y(s)=C(1-s)^2s^3
Para grandes s, Y(s)approx1s-2s^2+cdots, e isso deve coincidir com y(0)=1,y'(0)=-2. Logo C=1.

Passo 5

Expandindo Y(s)=s^2-2s+1s^3=1s-2s^2+1s^3 e invertendo a transformada termo a termo:
y(t)=1-2t+t^22

Resposta

y(t)=1-2,t+tfract^22

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