Use Transformadas de Laplace para resolver os Problemas de valor inicial a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
com
e
usando transformada de Laplace. Vamos usar propriedades de
e de
para transformar a EDO inteira em uma equação em (Y(s)=\mathcal L{y(t)}.
Passo 2
Aplicando a transformada em cada termo, usando
:
Somando tudo e igualando a zero resulta em
Passo 3
Coletando termos semelhantes em
e
na equação obtida chega-se a
Isso é uma EDO de primeira ordem em
.
Passo 4
Resolvendo por separação de variáveis:
Fazendo frações parciais, integra-se e obtém-se
ou seja
Para grandes
,
, e isso deve coincidir com
. Logo
.
Passo 5
Expandindo
e invertendo a transformada termo a termo: