Calcule e represente z no plano complexo:
z=\left|\frac{3-i}{1-3 i}\right|

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
z=\left|\dfrac{3-i}{1-3i}\right|
e pede duas coisas: calcular o valor de z (ou seja, o valor numérico do módulo dessa fração) e representar esse valor no plano complexo (onde um número complexo a+bi é representado pelo ponto (a,b)).
Informações importantes fornecidas:
  • O numerador é o número complexo 3-i.
  • O denominador é o número complexo 1-3i.
  • O símbolo |\cdot| indica o módulo (valor absoluto) de um número complexo.

Passo 2

Relembrando o que é módulo de um complexo e uma propriedade útil.
Se w=x+iy é um número complexo (com x,y reais), então o módulo de w é
|w|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Explicando: x é a parte real e y a parte imaginária; o módulo é a distância do ponto (x,y) até a origem no plano complexo (fórmula do comprimento de vetor em \mathbb{R}^{2}).

Passo 3

Propriedade que facilita muito o cálculo: para quaisquer números complexos a e b com b\neq 0,
\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}.
Por que isso vale (intuição rápida)? O módulo preserva produtos e quocientes: |ab|=|a||b|, logo \left|\dfrac{a}{b}\right|=|a||b^{-1}|=|a|/|b|. Essa propriedade permite calcular o módulo do quociente separando em numerador e denominador.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso:
z=\left|\frac{3-i}{1-3i}\right|=\frac{|3-i|}{|1-3i|}.
Agora calculamos cada módulo separadamente.

Passo 5

Calcular |3-i|. Aqui 3-i tem parte real 3 e parte imaginária -1. Usando a fórmula do módulo:
|3-i|=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.
Cada passo: quadrar a parte real ( 3^{2}=9), quadrar a parte imaginária ( (-1)^{2}=1), somar e tirar raiz quadrada.

Passo 6

Calcular |1-3i|. Aqui 1-3i tem parte real 1 e parte imaginária -3. Usando a mesma fórmula:
|1-3i|=\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}.

Passo 7

Agora substituímos na fração:
z=\frac{|3-i|}{|1-3i|}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=1.
Portanto o valor numérico de z é 1.

Passo 8

Representação no plano complexo. O número real 1 pode ser visto como o complexo 1+0i, portanto corresponde ao ponto (1,0) no plano complexo. Em coordenadas polares, tem módulo 1 e argumento 0 (está sobre o círculo unitário, sobre o eixo real positivo).

Resposta

z=1
\text{Ponto no plano complexo: }(1,0)

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