Calcule e represente z no plano complexo: z=\left|\frac{3-i}{1-3 i}\right|
Passo 1
O enunciado nos dá a expressão z=\left|\dfrac{3-i}{1-3i}\right|
e pede duas coisas: calcular o valor de z (ou seja, o valor numérico do módulo dessa fração) e representar esse valor no plano complexo (onde um número complexo a+bi é representado pelo ponto (a,b)).
Informações importantes fornecidas:
O numerador é o número complexo 3-i.
O denominador é o número complexo 1-3i.
O símbolo |\cdot| indica o módulo (valor absoluto) de um número complexo.
Passo 2
Relembrando o que é módulo de um complexo e uma propriedade útil.
Se w=x+iy é um número complexo (com x,y reais), então o módulo de w é
|w|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Explicando: x é a parte real e y a parte imaginária; o módulo é a distância do ponto (x,y) até a origem no plano complexo (fórmula do comprimento de vetor em \mathbb{R}^{2}).
Passo 3
Propriedade que facilita muito o cálculo: para quaisquer números complexos a e b com b\neq 0,
\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}.
Por que isso vale (intuição rápida)? O módulo preserva produtos e quocientes: |ab|=|a||b|, logo \left|\dfrac{a}{b}\right|=|a||b^{-1}|=|a|/|b|. Essa propriedade permite calcular o módulo do quociente separando em numerador e denominador.
Representação no plano complexo. O número real 1 pode ser visto como o complexo 1+0i, portanto corresponde ao ponto (1,0) no plano complexo. Em coordenadas polares, tem módulo 1 e argumento 0 (está sobre o círculo unitário, sobre o eixo real positivo).