Escreva a forma da decomposição em frações parciais da função:
(b) x^3+xx(2 x-1)^2(x^2+3)^2 (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função
x^3+xx(2x-1)^2(x^2+3)^2
Vamos usar o método de frações parciais, que consiste em expressar a função como soma de termos adequados aos fatores lineares simples, lineares repetidos e quadráticos irreduzíveis elevados a potências.

Passo 2

Fatoramos o denominador e identificamos seus tipos de fator:
x, (2x-1)^2, (x^2+3)^2
O grau do numerador ( 3) é menor que o grau do denominador ( 1+2+4=7), portanto a fração já é própria e podemos aplicar diretamente a decomposição.

Passo 3

Para cada fator repetido de ordem n montamos termos de ordem decrescente:
– Para o fator linear simples x (ordem 1) usamos
Ax
– Para o fator linear repetido (2x-1)^2 (ordem 2) usamos
B2x-1 + C(2x-1)^2
– Para o fator quadrático irreduzível (x^2+3)^2 (ordem 2) usamos termos lineares no numerador:
Dx+Ex^2+3 + Fx+G(x^2+3)^2

Passo 4

Somando todos esses termos, obtemos a forma geral da decomposição em frações parciais:
x^3+xx(2x-1)^2(x^2+3)^2 = Ax + B2x-1 + C(2x-1)^2 + Dx+Ex^2+3 + Fx+G(x^2+3)^2

Resposta

x^3+xx(2x-1)^2(x^2+3)^2 = Ax +B2x-1 +C(2x-1)^2 +Dx+Ex^2+3 +Fx+G(x^2+3)^2

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