Encontre a área das superfícies definidas de forma explicita e implícita
A superfície que inferior do parabolóide z=x^2+y^2 que é delimitada pelo plano z=3.
Thomas 12ed exer 16.5.49

Passo 1

A gente quer achar a área da parte do parabolóide definido por z = x² + y² que fica lá embaixo e é “cortado” pelo plano z = 3. O conteúdo é cálculo de área de superfície, e vamos usar tanto a forma explícita z = f(x,y) quanto a implícita G(x,y,z) = 0.

Passo 2

Na forma explícita usamos a fórmula
A = integralegral duplaR raiz1 + (fx)^2 + (fy)^2 , dA Aqui f(x,y)=x²+y², então
fx = 2x e fy = 2y,
– o integrando fica raiz1 + 4x² + 4y²²²,
– e a região R é o disco x²+y² <= 3²².
Transformamos para coordenadas polares: x = rcosθ, y = rsinθ, dA = r,dr,dθ, com 0 <= r <= raiz3 e 0 <= θ <= 2π. Assim
A = integral0^2π integral0^ raiz3 raiz1 + 4r²,r ,dr,dθ = 2π integral0^ raiz3 rraiz1+4r² ,dr ²²

Passo 3

Para resolver
I = integral0^raiz3 rraiz1+4r² ,dr² usamos a substituição u = 1 + 4r²², du = 8r,dr. Quando r vai de 0 a raiz3, u vai de 1 a 13. Logo
I = 18 integral1^13 u^1/2 ,du = 18 cdot 23 l(13^3/2 - 1r) = 112 l(13raiz13 - 1r) Então
A = 2π ,I = π6 l(13raiz13 - 1r)

Passo 4

Na forma implícita tomamos G(x,y,z) = x² + y² - z = 0. Aí
∇G = (2x,2y,-1) e |∇G| = raiz4x²+4y²+1²²,
Gz = -1.
A fórmula de área é
A = integralegral duplaD |∇G||Gz| ,dA = integralegral duplaR raiz4x²+4y²+1 ,dA, ²²
que é exatamente o mesmo integral que fizemos antes. Por isso dá o mesmo resultado.

Passo 5

Portanto, usando qualquer das abordagens, a área vale

Resposta

A = π6l(13raiz13 - 1r).

Exercícios relacionados