Encontre a área das superfícies definidas de forma explicita e implícita
A superfície que inferior do parabolóide
que é delimitada pelo plano
.
Thomas 12ed exer 16.5.49
A superfície que inferior do parabolóide
Thomas 12ed exer 16.5.49
Passo 1
A gente quer achar a área da parte do parabolóide definido por z = x² + y² que fica lá embaixo e é “cortado” pelo plano z = 3. O conteúdo é cálculo de área de superfície, e vamos usar tanto a forma explícita z = f(x,y) quanto a implícita G(x,y,z) = 0.
Passo 2
Na forma explícita usamos a fórmula
–
e
,
– o integrando fica ,
– e a região R é o disco .
Transformamos para coordenadas polares: ,
,
, com
e
. Assim
– o integrando fica
– e a região R é o disco
Transformamos para coordenadas polares:
Passo 3
Para resolver
usamos a substituição
,
. Quando r vai de 0 a
, u vai de 1 a 13. Logo
Passo 4
Na forma implícita tomamos G(x,y,z) = x² + y² - z = 0. Aí
– e
,
– .
A fórmula de área é
–
–
A fórmula de área é
que é exatamente o mesmo integral que fizemos antes. Por isso dá o mesmo resultado.
Passo 5
Portanto, usando qualquer das abordagens, a área vale