Calcule integral0^1(cos (pi t), sen(pi t), t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de um campo vetorial em uma variável real, ou seja
integral0^1l(cos(pi t),,sen(pi t),,tr),dt
O conteúdo envolvido é integração de cada componente de forma independente (integração de funções escalares).

Passo 2

Calcular a primeira componente
integral0^1cos(pi t),dt
Usamos a primitiva integralcos(pi t),dt=tfrac1pisen(pi t). Logo
integral0^1cos(pi t),dt =l[tfrac1pisen(pi t)r]0^1 =tfrac1pil(sen(pi)-sen(0)r) =tfrac1pi(0-0) =0

Passo 3

Calcular a segunda componente
integral0^1sen(pi t),dt
A primitiva é integralsen(pi t),dt=-tfrac1picos(pi t). Assim
integral0^1sen(pi t),dt =l[-tfrac1picos(pi t)r]0^1 =-tfrac1pil(cos(pi)-cos(0)r) =-tfrac1pil((-1)-1r) =tfrac2pi

Passo 4

Calcular a terceira componente
integral0^1t,dt
Usamos integral t,dt=tfract^22. Portanto
integral0^1t,dt =l[tfract^22r]0^1 =tfrac1^22-tfrac0^22 =tfrac12

Resposta

integral0^1l(cos(pi t),,sen(pi t),,tr),dt =l(0,;tfrac2pi,;tfrac12r)

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