Escreva a forma de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
x^3-4 x^2+2(x^2+1)(x^2+2)

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a função racional dfracx^3-4x^2+2(x^2+1)(x^2+2). O tema é decomposição em frações parciais de polinômios com fatores quadráticos irreducíveis, e vamos precisar lembrar a forma geral desses termos quando o denominador é um quadrático sem raízes reais.

Passo 2

Como cada fator do denominador é um quadrático irreduzível ( x^2+1 e x^2+2), a teoria diz que associamos a cada um um numerador de grau um menor que o grau do quadrático, ou seja, um polinômio de grau 1. Então, a forma geral da decomposição é:
x^3-4x^2+2(x^2+1)(x^2+2)=Ax+Bx^2+1+Cx+Dx^2+2
Para encontrar os valores de A,B,C,D, normalmente multiplicaríamos ambos os lados por (x^2+1)(x^2+2) e compararíamos coeficientes de potências de x. Mas como o enunciado não pede esses valores, paramos aqui.

Resposta

x^3-4x^2+2(x^2+1)(x^2+2)=Ax+Bx^2+1+Cx+Dx^2+2

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